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III 1. F. Enriques. Questions d’ordre élémentaire. 
térieur du segment X3I appartiennent à la seconde classe. On dé 
montre qu’il n’existe qu’un seul point X jouissant de cette propriété. 
Il peut d’ailleurs arriver que X coïncide soit avec 0 soit avec 31. 
Les deux postulats de K. Weierstrass et de IL Dedelcind sont 
entièrement équivalents. 
Si l’on adjoint l’un de ces deux postulats de continuité aux pos 
tulats de congruence des segments sur la droite [n° 11, y] on peut: 
a) prouver 14i ) le postulat d’Archimède 142 143 144 145 ); 
b) représenter les points de la droite sur le continuum numérique 
au moyen d’une correspondance biunivoque [dite aussi parfaite I 1, 1]. 
On peut donc dire que si les postulats sur la congruence des seg 
ments sont donnés [n° 11, y 1 à 4], le postulat de continuité de Weier 
strass (ou celui de Dedelcind) est équivalent à Iensemble des postidats 
de continuité de Cantor et d’Archimède. 
La question se pose maintenant de savoir si le postulat d’Archi 
mède est aussi une conséquence des postulats sur la congruence des 
segments et du postulat de la continuité de Cantor. 
G. Veronese lu ) a montré qu’à cette question il faut répondre né 
gativement et a ainsi prouvé que le postulat de la continuité de 
Cantor est compatible avec la supposition d’un segment actuel, infi 
niment petit (par rapport à une unité donnée) [cf. n° 47 ]. 
Cela résulte, en somme, du raisonnement que voici 140 ): 
Supposons, dans un même plan, un système a, a, a”, ... de 
droites horizontales en nombre illimité, à distances égales les unes 
des autres, et considérons l’ensemble de tous les points de ces droites 
comme un système de points ordonnés de façon que chaque point B 
situé à droite d’un point A sur une 
même horizontale, et que chaque 
C point G ou D situé plus haut que 
j yj ^ soient regardés comme „suivant 
A“- au contraire A précède B, C et 
b D. Dans ce système de points que 
Fig. i. l’on peut supposer ordonné dans les 
142) Cf. 0. Stolz [Ber. naturw.-mediz. Yer. Innsbruck 12 (1881/2), p. 75; 
Math. Ann. 22 (1883), p. 504]. 
143) O. Hôlder [Ber. Ges. Lpz 53 (1901), math. p. 1] a énuméré d’une façon 
précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’il en soit ainsi. 
144) Atti Accad. Lincei Memorie mat. (4) 6 (1890), p. 603; Fondamenti 26 ), 
p. 105; trad. A. Schepp, Grundzüge 28 ) 1, (Einleitung § 105). 
145) G. Veronese, Fondamenti 26 ), p. 166; trad, A. Schepp, Grundzüge 26 ), Ein 
leitung, p. 184 en note.