18. Continuité et postulat d’Archimède. 
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deux sens à partir de chaque point A, la définition du segment est 
fixée (aussi bien celle du segment fini AB que celle du segment 
indéfini composé d’une demi-droite, ou celle du segment tel que AC 
ou AD chevauchant sur deux ou plusieurs demi-droites) et l’on peut 
aussi parler de segments congruents relativement à une translation quel 
conque du plan qui superposerait les droites envisagées. 
Ainsi se trouvent réalisés à la fois tous les postulats concernant 
la congruence des segments et ceux qui regardent la disposition. Il 
en est de même pour le postulat de la continuité de Cantor (mais 
non pour le postulat de la continuité de Weierstrass ou de Dedekind). 
Au contraire, le postulat d’Archimède ne convient pas au système 
envisagé, car un multiple quelconque du segment (fini) AB est toujours 
plus petit que le segment (indéfini) AC composé de deux demi-droites. 
On en conclut que le postulat cf Archimède est indépendant du 
postidat de la continuité de Cantor. 
On peut aussi formuler la différence entre le concept de con 
tinuité de Cantor-Dedelcind et celui de G. Veronese de la façon 
suivante 146 ): 
Si l’ensemble des points d’un segment OM est divisé en deux 
classes M' et M" conformément au postulat de Dedekind, il peut se 
présenter quatre cas; 
1°) M' a un dernier point A' et M” un premier A" (on dit alors 
qu’il se produit un saut dans le segment); 
2°) M' a un dernier point A', mais M" n’a pas de premier point; 
3°) M' n’a pas de dernier point, mais M" a un premier point A"‘ 
4°) M' n’a pas de dernier point et M" n’a pas de premier point 
(on dit dans ce cas qu’il y a un vide dans le segment). 
Le concept de continuité de B. Dedekind exclut les vides et les 
sauts; celui de G. Veronese exclut toujours les sauts, mais n’exclut les 
vides que dans des conditions particulières. Dans le continuum de 
G. Veronese des vides apparaissent par exemple toujours quand les 
segments A 1 A\, A 2 A' 2f A 3 A' 3 , dont on a parlé dans l’énoncé du 
postulat de continuité de Cantor ne deviennent pas inférieurs à tout 
segment du système envisagé, ce qui est possible. 
On peut encore se demander si le postulat d’Archimède peut être 
démontré à l’aide des postulats de l’appartenance, de la disposition 
et de la congruence [n os 9, 10, 11, «, (1, y]. 
Il faut aussi répondre négativement à cette question (cf. n° 47). 
146) A. Schoenflies, Jabresb. deutsch, Math.-Yer. 15 (1906), p. 26.