14. Le postulat des parallèles. 
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rapport à l’unité d’angle de la différence entre la somme des angles 
du triangle et deux angles droits. Enfin il remarque, et ici il devance 
B. Biemann, que l’hypothèse du quatrième angle obtus se vérifie dans 
la géométrie sphérique et que l’hypothèse du quatrième angle aigu 
se vérifierait sur une sphère de rayon purement imaginaire. 
Aux critiques formulées par G. Saccheri et J. H. Lambert rela 
tivement à la théorie euclidienne des parallèles se rattachent les vues 
sur le postulat d’Euclide exposées par plusieurs des plus grands géo 
mètres français de la fin du 18 lème siècle, + entre autres par J. d’Alem- 
bert 162 ), P. S. Laplace 163 ), L. N. M. Carnot 164 ), J.-B. J. Fourier 1 ™) et 
peut-être J. L. Lagrange 1 ™). Les résultats obtenus par ces géomètres 167 168 169 ) 
comprennent d’ailleurs la partie la plus essentielle du théorème formulé 
un peu plus tard par A. M. Legendre 1 ™), tout à fait indépendamment 
d’ailleurs des travaux de ses devanciers*, à savoir que le postulat d’Euclide 
équivaut entièrement ci l’hypothèse que la somme des angles d’un seul 
triangle, arbitrairement choisi, est égale à deux angles droit9, hypothèse 
de laquelle découle alors la même propriété pour tous les triangles 
possibles, au moins quand on admet comme donnés tous les postulats 
a, [i, y des n 03 i) à 11, ainsi que le postulat d’Archimède. 
C. F. Gauss 1 ™) semble avoir été le premier à concevoir l’impossi 
bilité de démontrer le postulat des parallèles et, par suite, la possibilité 
d’une géométrie plus générale que celle dEuclide dans laquelle on 
ferait abstraction de ce postulat. Il a d’ailleurs établi les fondements 
d’une telle géométrie. 
162) ^Mélanges de littérature, d’histoire et de philosophie 5, Amsterdam 1759 ; 
nouv. éd. Amsterdam 1770, p. 202; Œuvres 1, Paris 1821, p. 278; Encyclopédie 
ou Dictionnaire raisonné 11, Neufchastel 1765, p. 905; Encyclopédie méthodique, 
math. 2, Paris et Liège 1785, p. 520 (article parallèles).* 
163) *P. S. Laplace 166 ), Œuvres 6, Paris 1884, p. 472.* 
164) + Géom. de position 165 ), p. 481.* 
165) ^Séances des Ecoles normales 1, Paris an III, p. 28/33; réimpr. Mathesis 
(1) 9 (1889), p. 139/41. Cf. L. Couturat, Opuscules et fragments inédits de Leibniz, 
Paris 1903, p. 554/5.* 
166) *Le mémoire de JDaviet de Foncenex [Mise. Taurinensia (Mélanges de 
philos, et de math.) 2 (1760/1), éd. 1762, p. 299/322] a peut-être été rédigé d’après 
des communications verbales de J. L. Lagrange. Sur les vues de J. L. Lagrange 
voir la communication de F. Lefort dans G. J. Hoüel, Essai critique sur les 
principes fondamentaux de la géométrie élémentaire, Paris 1867, p. 76 en note.* 
167) „Voir JR. JBonola, Nicht-euklidische Geometrie, Leipzig 1908, p. 54/8.* 
168) Réflexions sur différentes manières de démontrer la théorie des pa 
rallèles ou le théorème sur la somme des trois angles d’un triangle [Mém. Acad, 
sc. Institut France (2) 12 (1833), p. 367/410]. 
169) En tous cas avant 1816. Cf. Werke 8, Gottingue (Leipzig) 1900, p. 175, 182.