16. Nouveaux développements sur la théorie des parallèles. 
47 
fondements de la géométrie se posent encore et demandent à être 
examinées avec soin: 
a) Comment arrive-t-on à établir la possibilité logique de la 
géométrie non-euclidienne et, par suite, l’indépendance du postulat 
d’Euclide à l’égard des postulats qui le précèdent. 
b) Sous quelles formes simples, équivalant au postulat d’Euclide, 
peut-on énoncer l’hypothèse qui se trouve à la base de la théorie 
ordinaire des parallèles. 
a) En ce qui concerne la première de ces deux questions, 
N. I. Lobacevshij 183 ) a déjà observé que les formules de la trigono 
métrie hyperbolique peuvent être réalisées par un système analytique 
abstrait et il en a tiré la première démonstration de la possibilité 
logique de la géométrie non-euclidienne. 
B. Riemann 184 ) et E. Beltrami 185 186 187 ) eurent ensuite l’idée de donner 
une interprétation effective de la géométrie non-euclidienne plane en 
utilisant la géométrie sur les surfaces à courbure constante (cf. n° 24). 
Il en résulte une nouvelle preuve de la possibilité logique des systèmes 
non-euclidiens dans le plan. Mais une telle surface à courbure constante 
ne représente jamais qu une partie du 'plan. 
D’après F. Klein 185 ) on a une représentation de la géométrie 
non-euclidienne qui répond mieux à une intuition d’ensemble, dans la 
détermination métrique que A. Cayley m ) a appliquée à chaque co 
nique. Tout le plan non-euclidien est ainsi mis en pleine lumière 
et non plus seulement une partie du plan. Nous reviendrons sur 
cette question dans le chapitre consacré à la géométrie projective. 
Par cette interprétation projective on a aussi envisagé un point qui 
mérite de fixer l’attention du lecteur. 
Souvent, en suivant l’exemple de J. H. Lambert, on a pris pour 
modèle de la géométrie plane elliptique la géométrie sur la sphère; 
et comme, sur celle-ci, deux cercles très grands (figurant des droites) 
183) +N. J. Lobacevskij 17S ) 1, p. 65; 2, p. 60.* 
184) +B. Biemann, Habilitationsschrift 12 ); Abb. Ges. Gott. 13 (1866/7), éd. 
1868, math. p. 145; Werke, (2 e éd.), pubi, par H. Weber, Leipzig 1892, p. 282/3; 
trad. L. Laugel, Paris 1898, p. 293.* 
185) *E. Beltrami, Saggio d’una interpretazione della geometria non-euclidea 
[Giorn. mat. (1) 6 (1868), p. 284/312; trad, par G. J. Hoiiel, Ann Ec. Norm. (1) 6 
(1869), p. 251/88].* 
186) +F. Klein, Math. Ann. 6 (1873), p. 140.* 
187) +A. Cayley, Philos. Trans. London 149 (1859), p. 82; Papers 2, Cam 
bridge 1889, p. 583.*