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III 1. F. Enriques. Théorie du continuum. 
sans point double (on multiple), où cp(t) et ip(t) sont des fonctions 
finies et continues de t, partage le plan en deux régions telles que, 
si l’on joint par un trait continu un point fixé arbitrairement dans 
l’une des deux régions à un point fixé arbitrairement dans l’autre 
région, ce trait continu rencontre la courbe en un point au moins. 
On donne à l’une de ces régions le nom de région intérieure, à l’autre 
le nom de région extérieure à la courbe fermée. 
4°) C’est enfin le fait que la distinction entre courbes planes 
analytiques et courbes planes non-analytiques n’est possible, en général, 
que si l’on tient compte, non seulement de la courbe envisagée elle- 
même, mais encore du système de coordonnées auquel on rapporte la 
courbe dans le plan. 
Si l’on exclut les points singuliers et si l’on ne considère qu’une 
région finie du plan, l’ensemble des courbes analytiques satisfait à 
la condition fondamentale qui nous est donnée par l’intuition que 
nous avons des courbes (que l’on imagine entièrement tracées): 
a. Deux courbes ne se coupent qu’en un nombre fini de points. 
Si l’on considère inversement comme donnés tous les segments 
de droite et tous les arcs de parabole d’ordres quelconques 2, 3, . . . 
que l’on peut concevoir à l’intérieur d’une région finie, arbitrairement 
fixée dans le plan, on peut démontrer 265 ) qne toute ligne (J) devant 
satisfaire, relativement à ces segments de droite et à ces arcs de 
parabole, à la condition « a en chacun de ses points une tangente, 
ou tout au moins une tangente à droite et une tangente à gauche; 
et l’on peut aussi démontrer que la ligne (l) a, par suite aussi, en 
chacun de ses points une parabole osculatrice d’ordre 2, d’ordre 3, . . . 
et en général d’ordre entier quelconque n. La ligne (J) peut donc 
être représentée en coordonnées cartésiennes par trois fonctions F 
admettant des dérivées de tous les ordres ou, tout au moins, des 
dérivées à droite de tous les ordres et des dérivées à gauche de tous 
les ordres. Si l’on admet que, dans une région du plan convenable 
ment limitée, la ligne (J) ne coupe qu’en un nombre fini de points 
chaque ligne analytique sans points singuliers dans cette région, il 
est d’ailleurs fort vraisemblable que, dans cette région du plan, les 
trois fonctions F sont des fonctions analytiques. 
21. La notion de ligne. Dans la théorie du continuum le pre 
mier concept que l’on rencontre est celui de la variété continue à une 
dimension. 
On peut, par abstraction, identifier ce concept à celui de la 
265) *Cette démonstration, due à F. Enriques, n’a pas encore été publiée-