21. La notion de ligne. 
67 
ligne, à condition de prendre le point de la ligne comme élément de 
la variété continue à une dimension et de faire, en outre, abstraction 
des relations de la ligne avec l’espace dans lequel elle est située 
ainsi que de toute notion métrique (notion de longueur) concernant 
ses segments s’il s’agit d’une ligne droite, ses arcs s’il s’agit d’une 
ligne courbe. Les seules propriétés de la ligne que l’on doive prendre 
en considération sont celles qui se rattachent à sa détermination gé 
nétique par le mouvement d’un point, comme, par exemple, les pro 
priétés concernant la suite naturelle des points d’une ligne, ou la 
continuité de la ligne, ou encore la notion de segment sur une droite, 
ou d’arc sur une courbe. 
Pour formuler dans un système logique, en se plaçant unique 
ment au point de vue de la théorie du continuum, les propriétés qui 
caractérisent une variété à une dimension, ou une ligne envisagée 
comme on vient de le dire, il convient d’envisager d’abord un type 
déterminé de ligne, suffisamment simple, auquel on cherchera ensuite 
à ramener tous les autres. 
Nous prendrons pour ce type la ligne (sans point double) que 
nous appellerons ligne ouverte, c’est-à-dire ligne non limitée. Nous 
appellerons variété élémentaire et nous représenterons par le symbole v 1 
chaque variété à une dimension que l’on peut identifier à une ligne 
ouverte. 
On peut caractériser les propriétés fondamentales des variétés 
élémentaires v x soit en se plaçant au point de vue génétique, soit en 
se plaçant au point de vue actuel. 
Suivant que l’on se place à l’un ou à l’autre de ces deux points 
de vue on devra d’ailleurs appliquer sous la forme de K. Weierstrass 
ou sous celle de R. JDedekind [n° 13] les postulats de la droite et le 
postulat de la continuité [n° 10]. 
Pour abréger, on convient de dire que chacun de ces deux points 
de vue implique deux ordres continus opposés sur v 1 266 267 ). 
Celà posé, il s’agit de savoir si les hypothèses faites suffisent 
pour permettre la représentation des points de v i sur le continuum 
analytique d’une variable réelle x, ou, ce qui est identique, sur un 
segment rectiligne dont les points extrêmes sont exclus. En d’autres 
termes, il s’agit de savoir si les hypothèses faites suffisent à l'intro 
duction des coordonnées. 
JB. Riemann 2 ^), qui, le premier, a envisagé dans toute sa généra 
266) „Un ordre continu sur une ligne fermée s’appelle une disposition.* 
267) Habilitationsschrift 12 ); Abh. Ges. Gott. 13 (1866/7), éd. 1868, matb. 
5*