22. Surfaces. Variétés à n dimensions. 
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à deux ou à trois dimensions. Ces notions correspondent à des types 
plus ou moins intuitifs. On généralise ensuite, à un nombre quel 
conque de dimensions, les notions ainsi acquises de variété à une, 
deux ou trois dimensions. 
Il semble difficile de dire qui a, le premier, tenté cette générali 
sation. C’est qu’en réalité elle a été d’abord réalisée dans un but 
tout différent. Ainsi J. L. Lagrange 273 274 27S ) assimile la Mécanique à une 
Géométrie à quatre dimensions. 
Dans les recherches de Géométrie pure, il s’agit essentiellement 
de généraliser le concept de la disposition des points d’une surface 
suivant deux directions ou dans un ordre double, et celui de la dis 
position des points de l’espace suivant trois directions ou dans un 
ordre triple. 
Cette généralisation est analogue à celle qui permet de passer du 
concept d’une ligne mobile, formée de points disposés convenablement, à 
celui d’une surface, puis du concept de la surface supposée à son tour 
mobile, au concept d’une étendue déterminée ou à celui de l’espace tout 
entier. En continuant ainsi on parvient à la notion de variété à 4, 5, ... 
et, en général, à un nombre quelconque n de dimensions. Les élé 
ments de la variété à n dimensions ainsi engendrée sont dit disposés 
en ordre multiple n. 
La possibilité de cette généralisation a déjà été connue par 
J. F. Herhart 2U ) dont le système philosophique a exercé dans cet ordre 
d’idées une grande influence sur le développement des idées de 
H. Grassmann et de JB. JRiemann. 
En se plaçant à un point de vue exclusivement mathématique, 
A. Cayley 275 ) a d’ailleurs développé, dès 1843, le concept de variété 
à un nombre quelconque de dimensions. 
En 1844, H. Grassmann 276 ) a, de son côté, formulé explicitement 
la possibilité de soumettre au calcul l’étude de variétés plus générales 
que l’espace à trois dimensions qu’elles sont supposé contenir. Il 
a recours, à cet effet, à une analyse vectorielle généralisée dans la 
quelle, en particulier, l’addition jouit encore de propriétés commuta 
tives. Le concept de grandeur extensive, auquel il parvient dans cette 
analyse vectorielle, embrasse celui de variété à n dimensions dont 
273) ^Théorie des fonctions analytiques, Paris an Y, p. 223; Œuvres 9, Paris 
1881, p. 337.* 
274) + Werke 88 ) 3, p. 59.* 
275) Cambr. math. J. 4 (1843/5), p. 119; Papers 1, Cambridge 1889, p. 55. 
276) Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844, préface p. IX, X; (2 e éd.) f 
Leipzig ls78, préface p. VII; Werke 68 ) l 1 , p. 10/1.