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III 1. F. Enriques. Théorie du continuum. 
l’étude fait l’objet de la théorie du continuum; il contient d’ailleurs 
quelque chose de plus. 
Le concept de variété à n dimensions a été posé par R. Rie- 
mann m ~) d’une façon tout à fait générale à l’aide d’une définition 
génétique récurrente. 
JB. JRiemann considère une variété à n dimensions comme une 
juxtaposition d’éléments pouvant être distribués en une infinité de 
variétés à n — 1 dimensions, l’ensemble de ces variétés à n — 1 di 
mensions formant une variété à une dimension, et cela de façon que 
chaque élément de la variété à n dimensions appartienne à l’une des 
variétés à »-1 dimensions. 
Une variété à deux dimensions apparaît ainsi comme une juxta 
position d’éléments pouvant être distribués en une infinité de variétés 
à une dimension, l’ensemble de ces dernières variétés formant lui- 
même une variété à une dimension. Cette distribution des éléments 
de la variété à deux dimensions correspond à la génération d’une 
surface par le mouvement d’une ligne, mouvement dans lequel la 
suite des lignes génératrices forme une variété à une dimension. On 
peut dire que les points de la surface sont disposés en quelque sorte 
suivant deux directions, ou dans un ordre double. 
Comme type de variété à deux dimensions on peut prendre une 
surface simplement connexe, ouverte, c’est-à-dire non-limitée. Nous 
appellerons variété élémentaire à deux dimensions et nous représen 
terons par le symbole v 2 , toute variété à deux dimensions dont les 
éléments correspondent aux points de cette surface ouverte et sont 
conçus suivant les mêmes relations d’ordre. 
Le mode de génération des surfaces dont JB. JRiemann a fait 
usage amène tout naturellement à considérer sur une surface quelcon 
que donnée un faisceau de lignes génératrices et un faisceau de lignes 
directrices; ces dernières sont décrites par les différents points de la 
ligne génératrice mobile. On peut alors définir la variété élémentaire 
v 2 relativement à deux faisceaux de variétés élémentaires v 1 à une di 
mension de façon que 
1°) un élément de v 2 appartienne à une variété v x de chacun des 
deux faisceaux [c’est là la propriété fondamentale des faisceaux envisagés], 
2°) une variété élémentaire quelconque v x de l’un des deux 
faisceaux et une variété élémentaire quelconque vf de l’autre faisceau 
aient en commun un et un seul élément de v 2 . * 
• 277) Habilitationsscbrift 1S ) ; Abh. Ges. Gôtt. 13 (1866/7), éd. 1868, matb. 
p. 134; Werke (2 e éd.), publ. par H. Weber, Leipzig 1892, p. 273; trad. L. Laugel y 
Paris 1898, p. 281.