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III 1. F. Emiques. Principes de la géométrie projective. 
construction du quatrième harmonique pour les points-limites de 
chacune des deux ponctuelles ainsi formées. 
J. Lüroth et H. G. Zeuthen évitent, au moins au début, de faire 
usage de la continuité de la droite en montrant de quelle façon 
figurent dans tout segment de la droite des points de chacune des 
deux suites de points harmoniques ainsi formées. La construction qu’ils 
indiquent est très facile à réaliser quand on rejette à l’infini un des 
trois points fondamentaux A, JB, C. Les abscisses des points de chacune 
des deux suites de points harmoniques qu’ils envisagent sont alors 
représentées par une suite de fractions ayant pour dénominateurs les 
puissances successives de 2 et il est aisé de voir que chaque segment 
de la droite contient des points ayant pour abscisses des termes ou 
des sommes de termes de chacune de ces deux suites, pourvu qu’on 
suppose le postulat d’Archimède. A l’époque où ces recherches ont eu 
lieu, on admettait d’ailleurs ce postulat comme évident; ce n’est qu’un 
peu plus tard 319 ) qu’on a commencé à en discuter le caractère 320 ). 
Finalement on a ainsi une démonstration, métrique à certains égards, 
du théorème fondamental qui ne diffère pas essentiellement de celle 
donnée par M. Fasch 321 ). 
G. Darboux 322 ), tout en se rapprochant du concept de K. G. Chr. 
von Staudt, a ramené la question à un point de vue analytique. Il 
suppose donnée la correspondance projective entre deux droites, au 
sens de K. G. Chr. von Staudt, et il montre que cette correspondance 
est ordonnée (donc continue). Ceci posé il ramène la question à 
l’étude de l’équation fonctionnelle 
f(x + y) = f(x) + f{y) 
dont la solution continue est 323 ) 
f(x) = ax. 
319) O. Stolz, Ber, naturw.-mediz. Yer. Innsbruck 12 (1881/2), p. 76; Math. 
Ann. 22 (1883), p. 104. 
320) F. Klein [Nicht-Euklidische Geometrie (cours autographié Gôttingue) 1 
(1889/90), p. 315 et suiv.; Yorlesungen über die Théorie der elliptischen Modul- 
funktionen 1, Leipzig 1890, p. 239 et suiv.] remarque que la suite des quatrièmes 
harmoniques définie dans le texte au moyen de trois points en ligne droite, si 
on la définit de même sur une conique au moyen de trois points de cette conique, 
est intimement liée aux triangles mixtilignes que l’on rencontre dans l’étude des 
fonctions modulaires elliptiques. De ce que, parmi ces triangles, il y en a d’aussi 
petits que l’on veut [cf. II 12] on peut conclure intuitivement à la continuité de 
la suite des quatrièmes harmoniques envisagée. 
321) Neuere Geom.* 4 ), p. 129. 
322) Math. Ann. 17 (1880), p. 155. 
323) Cf. II 26, 42.