ET DONT LA VALEUR RESTE BIEN DETERMINEE. 
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indéfiniment des 
alternatives d’accroissement et de décroissement, assez inégales pour 
que les valeurs sensibles de f{x) aient de moins en moins de champ, 
au point de rendre négligeables les groupes infiniment éloignés d’élé 
ments. Mais si, au contraire, f{x) conserve le même signe et va 
rie sans cesse dans un même sens, sa valeur absolue devra finir 
par décroître, et même par décroître plus vite que ne le fait celle 
de la fonction — , sans quoi l’intégrale deviendrait infinie à la 
limite. 
En effet, quand, par exemple, pour x > k [k étant une très grande 
constante positive), f{x) décroît aussi lentement ou joins lentement 
que -, le rapport de f{x) à - ne tend pas vers zéro, et reste supé 
rieur, en valeur absolue, à un certain nombre M. On a donc 
r x r x m 
/ y ( x ) dx > / -dx 
M log j — oc (pour x infini), 
de sorte que la somme / f{x)dx est alors infinie. Mais l’intégrale 
reste finie dès que, pour les grandes valeurs absolues de x, la fonc 
tion f{x) est comparable à une puissance de - plus rapidement dé 
croissante que la première, c’est-à-dire dont l’exposant soit supérieur 
à l’unité. En effet, pour m >■ i et k positif, on a 
dx 
J, x™ ~ 
dx T 
( 1 ^ 
1 | 
( 1 1 ^ 
T 
x m ~ m — [ 1 
\X m ~ x ) 
A- m ~ l 
( — l y^m—1 j 
î 
fi 
T 
Si donc J\x) conserve, pour x~g>k, un rapport fini, moindre qu’un 
nombre assignable M, à une telle puissance x~ m de x, la somme 
/ ,=0 . . , f r dx M 
/ f{x)dx, se trouvant intérieure a M / — — —, -, sera 
J k J v ’ ’ J k x m ( m — i)k in i 
évanouissante pour k très grand; et l’intégrale f/{x)dx ne cessera 
pas d’être finie et déterminée, quand on rendra infinie sa limite 
supérieure. 
On raisonnerait de même dans le cas où la limite inférieure recu 
lerait jusqu’à — oo. 
¿60. — Exemples d’intégrales qui restent finies quand l’intervalle 
des limites devient infini. 
Voici quelques exemples importants d’intégrales qui restent finies 
quand une de leurs limites, ou toutes les deux, deviennent infinies.