68 EXEMPLES D’INTÉGRALES DONT LA VALEUR EST DETERMINEE 
dx 
prise soit entre les li- 
i° Commençons par l’intégrale f cCi ^_ r3 
mites zéro et oo, soit entre les limites dzco, et où a désigne une con 
stante positive quelconque.il viendra immédiatement 
(i8) 
dx i / x\ arctangcc — arc tango -n 
■ = — ( arctang — = — — — : 
a 1 + x' 1 a V a/ n a ‘ la 
dx 
i / x 
— - arctang - 
a 1 -v x % a \ a 
2° Évaluons maintenant, entre les mômes limites o etoo ou — oo et oc, 
doc doc 
l’intégrale de l’expression | e -*jÿ ° U côïfx’ qui a p0ur inté_ 
qX e —X , 
grale indéfinie ou tah^c, comme on le reconnaît de suite par 
e x -+- e x 
la différentiation ( 1 ). — La fraction 
e x — e~ 
pouvant aussi s’écrire 
et 
SIX 
3 L 2x 
e x -+- e~ 
expressions qui deviennent respectivement la 
première, i, pour x — oo, et la deuxième, — i, pour x = — oc, on aura 
dx 
(i9) 
if 
coh 2 a? 
dx 
coh 2 x 
= (tah x)* = i, 
= (tah x)^ — i —( — 1 
3° Considérons enfin, entre les limites o etoo, les trois expressions 
e~ ax dx, e~ ax cosbx dx, e~ ax s\nbxdx, où a désigne un nombre con 
stant positif, et dont les intégrales indéfinies sont respectivement (pp. 82 
et 33) 
1 acosbx — bsinbx b cosbxa sinbx 
a ’ a 2 -f- ¿> 2 ’ a 2 + 6 2 
Il viendra aisément, en observant que e~ ax s’annule pour x — oc, 
e~ ax dx — - ? 
(20) 
j* e~ ax cos bxdx — 
e~ ax sin bxdx — 
a 2 -f- è 2 
b 
a 2 -+- è 2 
(') Je désignerai les sinus, cosinus et tangentes l^perboliques par les nota 
tions sih, coh, tah, bien suffisamment explicites, et plus brèves que celles dont 
j’ai fait usage dans le Tome I, savoir sinh, cosh, tangh.