MÉTHODE DE THOMAS SIMPSON. 
tervalle intervient concurremment avec les deux valeurs extrêmes, et a 
même deux fois plus d’importance que celles-ci prises ensemble on se 
trouve affectée du coefficient 4 dans la somme, dont il y a lieu par 
suite de prendre le sixième. Ce procédé, dû au géomètre anglais 
Thomas Simpson, revient à supposer du troisième degré seulement la 
fonctionf(x), entre les limites de chaque intervalle; car on voit que 
l’erreur y serait nulle si l’on avait f iy (x) =z o. 
Pour faciliter le calcul et l’addition des valeurs approchées (3) ou 
(4) des intégrales partielles composant l’intégrale définie proposée, on 
partage d’ordinaire le champ d’intégration en intervalles h égaux; ce 
qui permet de mettre - ou ^ en facteur commun dans la somme totale 
et y porte à 2 le coefficient des valeurs de la fonction, /(¿r 0 q= 
communes à deux intervalles h successifs. Toutefois, aux endroits du 
champ d’intégration où les dérivées f"{x),f' v {x) seraient assez fortes 
pour rendre beaucoup plus sensibles qu’ailleurs, dans l’hypothèse de 
h constant, les erreurs, exprimées 
v aura lieu de resserrer les intervalles, pour 
obtenir les parties correspondantes de l’intégrale avec la même préci 
sion que les autres. 
263. — Intégration par les séries. 
Passons maintenant à l’intégration en série. On dédouble parfois ( 1 ), 
au moyen de l’intégration par parties, l’intégrale proposée en un terme 
de forme finie, algébrique par exemple, et une intégrale analogue à la 
proposée, mais d’indice plus élevé ou affectée sous le signe f d’un expo 
sant plus fort, et s’approchant néanmoins autant qu’on le veut, après un 
nombre suffisant de dédoublements pareils, d’une intégrale définie 
connue. La proposée se ramène donc à la série convergente formée par 
tous les termes (algébriques) qu’en a distraits l’application indéfini 
ment répétée du dédoublement, et à l’intégrale résidue, pour ainsi 
dire, subsistant encore à la limite et supposée évaluable autrement. 
Mais les exemples de ce procédé sont assez difficiles, à cause de la 
dernière opération (le calcul de l’intégrale résidue), et nous nous 
contenterons de voir ici la méthode la plus usuelle, qui est aussi la plus 
féconde en résultats simples. 
(‘) Comme nous verrons plus loin, n° 336* (dans le fascicule II).