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n/J ÉVALUATION, EN SÉRIE, D’UNE INTÉGRALE DÉFINIE : 
Elle consiste à développer, quand on le peut, la fonction placée 
sous le signe f, en une série convergente dans tout le champ d’inté 
gration et dont les termes soient assez peu compliqués pour qu’on 
puisse trouver leurs fonctions primitives. Alors il suffit de multiplier 
tous ces termes par la différentielle de la variable et de les intégrer, 
pour que la somme des résultats forme une nouvelle série convergente, 
exprimant l’intégrale cherchée. 
Supposons, en effet, qu’il s’agisse de calculer, entre deux limites a 
et x, l’intégrale ff{x)dx, et que l’on ait, dans tout l'intervalle de ces 
limites, 
(5) /O) — «o-t- Ui-h u%... H- u n -+- R„, 
« 0 , iiy, u 2 , . .., u,i étant certaines fonctions de x, en nombre aussi 
grand que l’on voudra, et désignant un terme complémentaire 
qui, lorsque n est assez grand, et pour toutes les valeurs de la variable 
comprises entre les deux limites a et x, reste inférieur à toute quan 
tité donnée e, quelque petite qu’on la prenne. Si nous multiplions 
l’égalité précédente par dx et que nous intégrions chaque terme entre 
les limites désignées, il viendra 
(6) 
/ JC ^ JL ^ JC ^ JC 
f{x)dx— / u,ydxf iiydx-1- / U2 dx -+-... 
-J fi (L fl 
~JC ~X 
-+- / u n dx-- I R,j dx. 
Or, d’après l’hypothèse R,j<0 (en valeur absolue), chaque élément 
R n dx de la dernière intégrale est moindre que zdx, et, par suite, leur 
somme, / \\ tl dx, sera inférieure à / tdx — z[x-—a). Mais, pour 
da da 
une valeur donnée de l’intervalle x — a des limites, ce produit z(x — a) 
tend vers zéro avec s. Si donc on fait croître n indéfiniment, le terme 
I R n dx s’effacera de plus eu plus du second membre de (6) et il 
*d a 
viendra bien, à la limite, 
(7) 
/ f{x)dx= I u 0 dx -1- / iiydx 
*d a a *d a 
/ x x 
iiodx -+-... -f- / u n 
n 
dx 
11 importe même de remarquer que, si la série « 0 -+- + u t + • • • ?