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88 CALCUL DE LA VALEUR MOYENNE D’UNE FONCTION ; 
croissement total, x n — x 0 ou b — a, de x, 
f ( X n ) AXq -h f(xi )A:V 1 (X% ) "+■ • • • ' f {x n —x) Ax n ^\ 
Si, actuellement, nous rapprochons les valeurs de f{x) considérées, 
en faisant croître à l’infini leur nombre n, la limite vers laquelle 
tendra cette fraction sera justement la valeur moyenne demandée; 
et, comme la somme f{x 0 )Ax 0 -\-f{x i )Ax 1 -+-. . . -+-f{x n _ x ) Ax n _ l de 
viendra l’intégrale définie f{x 0 )dx 0 -pf{x l )dx 1 H- ... -+-f{x n _ l )dx n _ i 
ou / f{x)dx, parfaitement déterminée, on aura 
a 
i r h 
(45) Valeur moyenne de f(x)= y / f(x)dx. 
^ ’ n 
Le calcul de la valeur moyenne de f{x) dans un certain intervalle 
se ramène donc à celui de l’intégrale ff{x)dx prise dans le même in 
tervalle; et celle-ci, à l’inverse, est elle-même le produit de l’inter 
valle b — a des limites par la valeur moyenne def(x). En d’autres 
termes, la fonction figurant sous un signe f peut y être remplacée 
par sa valeur moyenne entre les limites de l’intégration. 
273. — Exemple : valeurs moyennes de sin" 1 a? et de cos'"a;, où l’exposant m 
est supposé entier et positif. 
Cherchons, par exemple, la valeur moyenne des fonctions sln m x, 
cos m x, où nous admettrons que m soit un exposant entier positif et 
où nous supposerons x variable de — go à 00. Comme sin a? et cosæ 
reprennent leurs valeurs primitives lorsque x croît de 2tc, en sorte 
que leurs valeurs individuelles se retrouvent les mêmes dans tous 
les intervalles d’étendue 2iz commençant par n’importe quelle valeur 
de x, leurs valeurs moyennes seront aussi, évidemment, les mêmes pour 
toutes ces périodes 2 tt, et, par suite, pour un intervalle b — a composé 
d’un nombre indéfiniment croissant de périodes. On pourra même, à 
cet intervalle b — a très grand, ajouter une fraction quelconque de 
période sans modifier sensiblement le résultat; car le quotient, par 
b — a, des intégrales f sin m xdx, f cos m xdx, prises pour la fraction 
proposée de période, sera infiniment petit. Donc la moyenne générale 
des valeurs de sin" 1 x et de cos m x, ou moyenne calculée pour toutes 
les valeurs réelles de x depuis —-00 jusqu’à -h 00, pourra s’évaluer en 
ne considérant qu’un intervalle égal à 2tt. Et comme même la fonc 
tion cosa?, identique à sin 
I, prend à chaque instant la valeur