QUAND L ORIENTATION DES AXES CHANGE ARBITRAIREMENT. 
quadrature (de quadratum, carré), soit parce qu’on y rapporte les 
surfaces à un carré déterminé pris pour unité d’aire, soit parce que 
Vlx^dxmw 2 > ou vaudra, finalement, l’intégrale / F{x)dx. 
Ainsi le rapport-limite appelé aire de la surface AMBM'A est la quantité 
b 
F{x)dx, parfaitement déterminée dans le système des axes coordonnés 
a 
choisis. 
On voit, d’ailleurs, que cette intégrale resterait la même, si, imprimant une 
translation quelconque à la surface proposée, on augmentait les coordonnées x, 
y de tous ses points, de deux quantités constantes : car cela reviendrait à faire 
parcourir à tous ces points des droites égales et parallèles, ou à transporter pa 
rallèlement à elles-mêmes les droites M'M, N'N, ..., sans changer leurs distances 
respectives dx\ de sorte que l’intégrale / F(x)dx conserverait en défini 
a a 
tive les mêmes éléments, malgré l’augmentation commune éprouvée par ses deux 
limites a, b. Et celte intégrale ne sei'ait pas altérée davantage, si, faisant tourner 
la figure autour d’un des axes coordonnés, qu’on peut choisir pour celui, O x, des 
abscisses, on l’amenait par retournement dans une position symétrique de la pre 
mière; vu que chaque partie d’ordonnée, MM'= F(a?), interceptée par la courbe, 
deviendrait, dans la courbe symétrique, la partie analogue d’ordonnée corres 
pondant à la même abscisse x. 
Il ressort donc, presque immédiatement, de la définition de l’aire, que cette 
quantité est la même pour toutes les surfaces égales et pareillement orientées dans 
le plan, ainsi que pour leurs symétriques par rapport aux axes coordonnés. 
2. Possibilité d’obtenir l’aire par décomposition de la surface en éléments de 
forme quelconque. — En dénombrant les carrés infiniment petits, de côté dx, 
compris à l’intérieur de la figure, et qui comptent individuellement dans I aire 
totale pour la fraction {dxf, rien n’empêchera évidemment de les grouper, à 
volonté, en assemblages quelconques, dont chacun comprendrait une infinité de 
petits carrés contigus. Et il sera permis, dans ce cas, de négliger les carrés qui 
se trouveront sur le contour de chaque groupe; car leur nombre disparaîtra de 
vant celui des carrés intérieurs. Autrement dit, l’aire de la surface considérée 
égale la somme des aires qu’on obtiendrait en découpant cette surface, par des 
lignes quelconques, en parties aussi petites que l’on voudra, puis, en évaluant 
chaque partie comme si elle était seule. Rien n’empêchera même de supposer 
ensuite ces parties indéfiniment décroissantes, de manière à pouvoir négliger une 
portion relativement infiniment petite de leur totalité (toutes celles, par exemple, 
qui seront contiguës au contour général), et à pouvoir également remplacer les 
autres par des éléments différents, ayant avec elles des rapports infiniment voi 
sins de l’unité. 
On remarquera que c’est par de telles décompositions, d’une figure, en frag 
ments dont on change d’ailleurs parfois la disposition, que la Géométrie élémen-