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NOTE SUR LA NOTION D’AIRE PLANE. 
les anciens avaient l’habitude de ramener un tel problème à celui où 
l’on demanderait de changer la surface proposée en un carré équiva- 
taire parvient à ramener au rectangle, seul évaluable immédiatement, le parallé 
logramme, le triangle, le trapèze et, même, le secteur circulaire, avec le cercle. 
Dans les parties plus élevées des Mathématiques, le même principe s’applique à 
des cas assez nombreux où, pour faciliter les calculs, on divise une surface en 
éléments (autres que des carrés rectilignes) appropriés à la forme du contour de 
cette surface. 
3. Invariabilité de l’aire d’une surface dans toutes les positions possibles 
de celle-ci. — Nous avons montré que Faire d’une surface plane AMBM'A(p. 92) 
est une quantité déterminée dans chaque position de la surface par rapport 
aux axes et qui, de plus, reçoit la même valeur pour cette surface que pour toute 
autre surface égale orientée pareillement (c’est-à-dire ayant tous ses côtés paral 
lèles aux côtés pareils de la proposée). Mais, pour que la notion d’aire se trouve 
éclaircie en ce qu’elle a d’essentiel, il nous reste à faire voir que cette quantité 
est bien propre à la surface et ne tient nullement aux axes rectangulaires choisis, 
ou, en d’autres termes, qu’elle ne changera pas, si l’on enlève la figure AM B M'A 
du plan des xy, et qu’on l’y reporte ensuite dans telle position qu’on voudra. 
Pour le démontrer, observons d’abord qu’il existe une figure, le cercle, dont 
l’équation reste la même quand, laissant son centre fixe, on la fait tourner d’une 
manière quelconque dans le plan, et même lorsqu’on la retourne sens dessus des 
sous. Donc, pour cette figure, tout déplacement équivaut à une simple transla 
tion quant aux circonstances de forme qu’elle présente par rapport aux axes, et 
son aire sera invariable, d’après ce qui a été démontré. 
Or, comparons la surface donnée AMBM'A à un cercle que nous lui suppose 
rons lié et que nous tracerons dans son plan. La comparaison se fera en 
menant un double système de parallèles équidistantes, liées également à ces 
deux figures et propres à découper leur plan, par exemple, en carrés très petits 
égaux (ne se confondant pas, bien entendu, avec ceux, dx*, d’orientation inva 
riable, au moyen desquels s’évaluerait à chaque instant leur aire incomparable 
ment plus grande). Soient ni le nombre des carrés qu’entourera le contour de la 
surface AMBM'A, n le nombre de ceux qui se trouveront de même compris entiè 
rement dans le cercle. Il est évident que, si les parallèles sont assez rapprochées, 
la figure AMBM'A égalera sensiblement la somme des m carrés contenus à son 
intérieur; de même, le cercle sera, sauf erreur négligeable, la somme des n 
carrés qu’il comprendra. Or, quelque position qu’on donne sur le plan des xy à 
la figure proposée, soit en la déplaçant a volonté sans lui faire quitter ce plan, 
soit en la retournant, tous ces carrés, qu elle entraînera dans ses mouvements eu 
même temps que le cercle, ne cesseront pas d’avoir leurs côtés respectivement 
égaux et parallèles chacun à chacun, ou, en d’autres termes, d’èlre des figures 
égales, pareillement orientées et, par suite, d’aires équivalentes. Ainsi, la surface 
proposée et le cercle ne cesseront pas d’égaler, l’une, in fois, l’autre, n fois, l’un 
des carrés; en sorte que Faire de la figure AMBÂ, restant toujours le produit de 
celle du cercle, qui est invariable, par un rapport constant —, sera invariable 
n 
elle-même. C’est justement ce qu’il fallait démontrer.