ÉVALUATION D’UNE AIRE PLANE DE CONTOUR DONNÉ. g5 
lent, opéi’alion constituant bien, à proprement parler, la quadrature 
de cette surface. 
Soient AMBM'A (yig. 44) la figure plane, limitée en tout sens, 
dont on demande d’évaluer la surface, et Ox, O y les axes rectilignes, 
Fig. 44. 
faisant entre eux un angle donné y, auxquels on la rapporte. Menons 
une quelconque, mM, des ordonnées qui la coupent et que défi 
nira, en position, leur abscisse, O?n = x. Nous aurons, ici, à consi 
dérer spécialement la partie, M'M, de cette ordonnée, qui sera com 
prise à l’intérieur de la surface AMBM'A; car cette partie M'M jau 
gera, en quelque sorte, la surface dans le sens de mM, et c’est d’elle 
que dépendra l’étendue à évaluer, du moins pour l’abscisse x ou 
vis-à-vis du point m. Sa longueur M'M sera évidemment une fonc 
tion de x, parfaitement déterminée, et que l’on pourra calculer dans 
chaque cas si toutes les parties du contour AMBM'A sont bien défi 
nies. Nous appellerons F(,3?) cette fonction. Elle s’obtiendra, par 
exemple, en menant les deux ordonnées extrêmes Aa, B^, entre les 
quelles est comprise la surface, et dont nous appellerons respective 
ment a, b les abscisses O a, O ¡3, puis en prenant, pour chaque abscisse 
intermédiaire Oui = x, la différence mM — mW des deux ordonnées 
correspondantes de la partie supérieure AMB du contour et de la 
partie inférieure AM'B, ordonnées qu’on pourra connaître en fonc 
tion de x quand la forme et la situation de la figure par rapport aux 
axes seront désignées. 
Cela posé, observons que des ordonnées infiniment voisines, mM, 
nN,..., menées depuis aA jusqu’à [3B, découpent la surface en 
bandes étroites, dont l’une, MM'N'N, par exemple, est comprise 
entre l’ordonnée mM, d’abscisse x, et l’ordonnée «N, qui a pour 
abscisse x^-dx. Or cette bande M'M N N' peut être assimilée à un 
parallélogramme qui aurait pour un de ses côtés la droite M'M — F {x),