APPLICATION A L’AIRE DE L’ELLIPSE. 
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rence algébrique M'M, que nous désignons, en général, par F(^), 
vaudra donc le double de mM, c’est-à-dire 2 - \ja-—x" 1 . D’ailleurs. 
a v 
Fig. 45. 
'0 /m 
l’abscisse la plus petite est, pour toute la courbe, celle, — a, du 
point A', symétrique de A par rapport à l’origine O ; et la plus grande 
est celle, a, du point A. La formule générale (1) deviendra donc 
(2) 
/ a jj 
2 — a?- — x % 
dx. 
Pour simplifier cette expression, observons que, x variant de — a 
à a, le rapport ^ croît de — 1 à 1 et égale, par conséquent, le sinus 
d’un angle qui grandirait de — ^ à -• Appelons u cet angle, et pre- 
nons-le pour variable indépendante. Nous aurons x — «sin«; d’où 
dx — a cos u du, y a 2 — x 2 dx — a 2 \/i — sin 2 u cos u du — a 2 cos 2 u du ; 
et, comme u varie de — - à -1 la formule (2) deviendra 
22 
Aire de l’ellipse = 2 ab sin 
cos 2 u du. 
Or nous pouvons (p. 88) remplacer la fonction sous le signe f, cos 2 u, 
par sa valeur moyenne dans l’intervalle tt des deux limites, valeur que 
nous avons trouvée (p. 90) être \; et, l’intégrale se réduisant alors à 
/ — = — j la formule cherchée sera 
2 2 
(3) Aire de l’ellipse = izab siny- 
Comparons cette surface à celle du parallélogramme circonscrit 
B. — IL Partie élémentaire. 7