98 QUADRATURE DES SURFACES PLANES : AIRES DU CERCLE, DE L’ELLIPSE, 
CDD'C', dont les côtés CD, CG' sont respectivement égaux et paral 
lèles aux deux diamètres conjugués, AA'=2a, ïïh' — ib, qui ont 
servi d’axes coordonnés. Son aire est le produit {2a) {2 b) siny, et l’on 
voit que la formule (3) équivaut à la proportion 
Aire de l’ellipse _ tz 
Aire du parallélogramme circonscrit 4 
Donc, l’aire d’une ellipse est le produit, par le facteur constant - 1 
de l’aire de tout parallélogramme circonscrit, à côtés orientés 
suivant deux diamètres conjugués ; d’où il suit évidemment que 
tous les parallélogrammes circonscrits ci une même ellipse, et qui 
ont leurs côtés parallèles à deux diamètres conjugués de la courbe, 
sont équivalents. 
Supposons, en particulier, qu’on ait choisi pour demi-diamètres 
conjugués OA, OB les demi-axes (rectangulaires) de l’ellipse, dont 
nous appellerons A le plus grand et B le plus petit. Alors il faudra 
faire, dans (3), a — A, b — B, y —et il viendra 
(5) Aire de l’ellipse = ttAB. 
On remarquera que si, A restant constant, B grandissait jusqu’à la 
valeur A, l’ellipse finirait par se confondre avec son cercle circon 
scrit, de rayon A, et que, en même temps, son aire t:AB deviendrait 
tîA 2 , expression bien d’accord avec celle que donne la Géométrie élé 
mentaire, où, cependant, les éléments de surface choisis étaient déli 
mités par des rayons divergents et non, comme ici, par des cordes 
parallèles à l’axe des y. De même, si B était invariable, mais que A 
décrût jusqu’à la valeur B, l’ellipse se réduirait au cercle, de rayon B, 
qui lui est inscrit; quant à son aire, elle deviendrait tu B 2 . Et comme 
on a ttAB =V ,, ( 7r A 2 )(ttB 2 ), la formule (5) équivaut à l’énoncé sui 
vant, en langage ordinaire : 
Une ellipse a pour aire la moyenne proportionnelle entre Voire 
de son cercle inscrit et celle de son cercle circonscrit. 
278. — Deuxième exemple : aires limitées par des courbes paraboliques. 
On appelle quelquefois parabole de degré n une courbe dans la 
quelle l’ordonnée y a pour expression, en fonction de l’abscisse x, un 
polynôme f{x) du degré n, courbe telle, par suite, que toute droite 
parallèle à l’axe des y la coupe à une distance finie de l’axe des x et 
en un seul point. Mais, dans un sens un peu différent, qui ne com-