PAR DES ARCS HYPERBOLIQUES. 
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L'expression de Vaire n’est plus algébrique, mais transcendante, 
et sa valeur se trouve proportionnelle au logarithme népérien du 
rapport des deux abscisses extrêmes OB', OA'. 
C’est parce que les logarithmes népériens sont ainsi représentés 
graphiquement par des aires hyperboliques, qu’on leur donne quel 
quefois le nom de logarithmes hyperboliques. 
Si l’on fait croître x indéfiniment, le logarithme de son rapport 
à x 0 devient infini, et la surface AA'B'B ne tend plus vers une limite 
à mesure que sa longueur augmente. La raison en est que, pour n~ i, 
les ordonnées telles que B'B, étant inversement proportionnelles à la 
première puissance seulement de l’abscisse et non à une puissance 
plus élevée, finissent par décroître, à mesure que leur abscisse aug 
mente, infiniment moins qu’elles ne faisaient tant que n était supé 
rieur à l’unité : la hauteur des parties de la surface infiniment éloi 
gnées de l’origine et, par suite, ces parties mêmes ont donc crû, 
comparativement, dans un rapport infini. 
¿80. — Quatrième exemple : aire comprise entre un arceau de cycloïde 
et sa base. 
Une décomposition en bandes par les normales successives de la 
courbe, comme on le fait pour le cercle dans la Géométrie élémen 
taire, nous a déjà (T. I, p. 226) fait très simplement connaître la 
surface comprise entre un arceau de cycloïde et sa base. Mais il est 
bon de la déduire aussi, par la formule (1) [p. 96], d’une décompo 
sition en bandes parallèles ydx de largeur uniforme. 
Adoptons pour axe des x la base de l’arceau et comme axe des y la 
tangente au point de départ de celui-ci, de manière à avoir pour la 
J /-» TU/’ 
f ydx, r désignant le rayon 
0 
du cercle générateur, et l’intégration s’étendant depuis l’abscisse x = o 
de l’origine jusqu’à celle x — r^r du sommet. Cette expression, si 
l’on y remplace dx par sa valeur tirée de l’équation différentielle de 
la courbe [t. I, p, 226, formule (4)] dx — ? et si l’on prend 
v —y 
pour variable indépendante l’ordonnée y, qui y croît de zéro à 2r, 
devient f -—===• Après l’avoir doublée, intégrons-la par parties, 
^0 V*r—y