QUADRATURE DES SURFACES PLANES : ARCEAU DE CYCLOIDE, ETC. 
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en observant que 
1 Jd 7===- 
\ = — 2 7 2 ~y + 3 Ç\/%r — yy*dy 
= — 3 f s/'iry —y 2 dy, 
et que le terme intégré —ly^sjir—_y s’annule aux deux limites. 
Nous aurons 
Z' 2 '’ 
(12) Aire de la cycloïde =6 / y'iry-—y % dy. 
do 
Or \J2ry — y* 1 , ou \Jr % — (y — r) 2 , exprime les ordonnées d’un demi- 
cercle, décrit sur la hauteur 2r de la cycloïde comme diamètre, et 
dans lequel on prendrait pour abscisses les y comptés de zéro à ar, 
depuis le milieu de la base jusqu’au sommet de l’arceau. Par suite. 
r 2 '’ 
l’intégrale J \] 2r y —y 2 dy représente l’aire ^tz de ce demi-cercle; 
et il vient bien, pour la surface d’un arceau de cycloïde, la valeur Stt/’ 2 , 
ou trois fois l’aire du cercle générateur de la cycloïde, comme on a 
vu (t. I, p. 226). 
281*. — Cinquième exemple : aire comprise sous le profil longitudinal 
d’une onde solitaire ; relation entre l’ordonnée de ce profil et les deux 
aires partielles qu’elle délimite. 
(Compléments, p. 54*-) 
282. — Représentation des intégrales définies, par des aires. 
Si l’évaluation d’une aire plane revient à calculer uue certaine in 
tégrale définie, à l’inverse, toute intégrale définie, / f{x)dx, sera 
a 
graphiquement représentée par la surface plane comprise entre un 
axe horizontal des x, deux ordonnées verticales ayant pour abscisses 
respectives x — a, x = h, et la coui’be dont l’équation est, en coor 
données rectangulaires, y — f{x). En effet, les ordonnées successives 
de cette courbe découperont l’aire considérée en bandes étroites, 
ayant pour longueur ces ordonnées y=f(x), pour largeur la di 
stance dx de deux d’entre elles et, par suite, pour surface, le produit 
[pris en valeur absolue]c’est-à-dire les divers éléments de l’in