106 REPRÉSENTATION, PAR UNE AIRE, DE TOUTE INTÉGRALE DÉFINIE 
mière a toujours une plus grande hauteur absolue dz y que la seconde, 
l’intégrale définie proposée 
i: 
e~ ax sin hx dx = aire OSA — aire A S'B -4- aire BS" G — ... 
sera une série de termes décroissants alternativement positifs et né 
gatifs, série qu’on sait être toujours convergente et du signe affectant 
son premier terme. Nous avons (p. 68) calculé sa valeur ——, 
a ï -\- b' 2 
positive, en effet, quand b l’est. 
Si, au lieu de / e~ ax sin hx dx, nous considérons maintenant 
«AO 
l’intégrale / e~ ax * sin bx~ dx, la courbe y = e~ ax ' sin hx’ 1 exigera, 
do 
pour se déduire d’une sinusoïde, non seulement qu’on y rapetisse les 
ordonnées dans le rapport e~ ax ', plus rapidement décroissant encore 
quee~ ax , mais aussi qu’on les rapproche de plus en plus. L’on devra, 
en d’autres termes, y prendre dx de plus en plus petit pour que, d’une 
ordonnée à la suivante, l’arc bx 2 éprouve l’accroissement constant 
que reçoit l’abscisse dans une sinusoïde où l’on suppose les ordonnées 
équidistantes. Donc, par le fait de cette double transformation, les 
arceaux diminueront à la fois de largeur et de hauteur; en sorte que 
l’intégrale sera toujours une série convergente, positive, de termes 
décroissants à signes alternés. Celle série restera même convergente 
si l’on pose a —o ou y — sin bx 2 , vu qu’alors les arceaux, sans dé 
croître en hauteur, se rétréciront de plus en plus et indéfiniment à 
mesure qu’on s’éloignera de l’origine. L’expression / sin bx^dx (‘) 
do 
offre donc un exemple du premier des cas, indiqués plus haut (p. 66), 
où la fonction sous le signe f n’a pas besoin de tendre vers zéro pour 
que l’intégrale reste finie et déterminée quand le champ d’intégration 
devient infini. 
L’usage de représenter les intégrales par des aires est si familier 
aux géomètres, que les mots « effectuer une quadrature » et « éva 
luer une intégrale » sont devenus synonymes. On dit, par exemple, 
qu’un problème est ramené aux quadratures, quand on a prouvé 
que sa solution dépend du calcul d’une intégrale définie. 
(’) Nous l’évaluerons, au n° 327*, dans le Fascicule II.