RECTIFICATION DES COURBES : FORMULE GENERALE.
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283*. — Expressions générales d’une aire plane, en fonction des coor
données successives d’un point mobile qui en décrit le contour, et de
leurs différentielles.
281*. — Application à une orbite unicursale; aire du folium de Descartes.
(Compléments, p. 5g*.)
285*. — Évaluation des secteurs plans; signification des cosinus et sinus
hyperboliques d’un double secteur d’hyperbole équilatère.
(Compléments, p. 61*.)
286. — De la rectification des courbes : formule générale.
La rectification d’une courbe, c’est-à-dire son déroulement ou sa
transformation en une droite équivalente, consiste, au jaoint de vue
analytique, à calculer la longueur d’un arc quelconque de celte
courbe.
Ap rès avoir choisi trois axes rectangulaires des x, y, z, donnons-
nous, sous la forme y — f{x), z~o{x), les deux équations de la
branche déterminée de courbe dont il s’agira d’évaluer un arc, et
soient a, b les abscisses des deux extrémités, ou supposons que x
croisse, le long de l’arc, depuis a jusqu’à b. Nous savons que les élé
ments cls de l’arc admettront l’expression générale \Jdx--1- dy 2 dz 2 ,
c’est-à-dire \i 1 -hy ,2 -t- z'-dx ou y/i-h/'(x) 2 -\- f{x) 2 dx. Donc l’arc
cherché lui-même sera évidemment donné par la formule
et il y aura, pour l’obtenir, à effectuer la même intégration que si
l’on demandait la surface comprise, dans l’intervalle des deux ab
scisses a, b, entre l’axe de ces abscisses x et la ligne plane dont l’or
donnée égalerait \J 1 -h/' {x)- -h cp' (¿c?)-.
Quand la courbe proposée se trouve dans le plan des xy ou seule
ment parallèle à ce plan, la fonction z — <p (x) est constante et l’expres
sion à intégrer devient simplement \J\ f'{xYdx.
Comme nous avons déjà, dans le Tome I, en appliquant la deuxième
propriété générale des développées, rectifié plusieurs courbes impor
tantes qui sont les développées d’autres courbes connues et, notam-
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