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RECTIFICATION DES ARCS D’ELLIPSE; EXPRESSIONS DIVERSES, 
expression, prise pour Fabscisse x d’un point de l'élément, par la 
projection dx de celui-ci sur l’axe des abscisses; et, Fare commen 
çant d’ailleurs pour ® = o, il vient 
Introduisons à la place de x, comme dans la question analogue sur 
la surface de l’ellipse (p. 97), l’angle u, variable de zéro à ± F5 
x 
dont le sinus égale le rapport ou posons, en d’autres termes, 
x -=z a sin u et, par suite, dx = a cos u du. Le second membre de (25) 
aura encore, sous le radical, un facteur commun 0? qui disparaîtra 
des deux termes de la fraction; et, en observant de plus que le quo 
tient de cos« par \J 1— sin 2 « est l’unité, il viendra 
X 
arc sin — 
a 
0 
On reconnaît, au deuxième membre, l’intégrale elliptique de se 
conde espèce E(/r, <p), dont le développement en série a été étudié dans 
la dernière Leçon ( p. 83 ), et où il faudra poser ici k = e, <p = arc sin ^ • 
Donc l’expression de Farc d’ellipse est, au moyen de cette fonction 
transcendante E(/c, cp), 
Évaluons, par exemple, le périmètre entier, que nous appellerons S, 
de l’ellipse, c’est-à-dire quatre fois ce que devient le second membre 
de (27) quand la projection x de Farc s sur le grand axe atteint son 
maximum «, ou quand Farc u devient -■ Alors le second membre 
de (27) acquiert la valeur aEÎe, produit du demi grand axe a 
par l’intégrale complète E 1 ( e) ; et, si l’on substitue, dans S = 4«E 1 (e), 
la valeur en série que donne la seconde formule (26) de la dernière 
Leçon (p. 85), on aura 
(28) S — 2 T. a 
Le contour de l’ellipse vaut donc le produit de la circonférence cir-