EXACTES OU APPROCHÉES, DU PERIMETRE ENTIER D’üNE ELLIPSE. 
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conserite 2 7îa par la série i 
. . essentiellement infé- 
rienre à l’unité. Il devait bien en être ainsi, puisque l’ellipse, ligne 
convexe enveloppée par la circonférence 2tt a, se trouve nécessaire 
ment plus courte qu’elle. 
Comme d’ailleurs, pour la même raison, ce périmètre S dépasse 
celui, 2t-b, du cercle inscrit, la question se pose de savoir s’il ne se 
rait pas, jusqu’à un certain degré d’approximation, la moyenne soit 
arithmétique, soit géométrique, des deux circonférences circonscrite 
et inscrite 2~a, 27tZ>; question d’autant plus naturelle, que l’aire de 
l'ellipse est déjà exactement la moyenne géométrique des surfaces con 
tenues dans les deux circonférences. Il y a donc lieu, d’après l’égalité 
a~ — b 2 —a 2 e 2 qui donne b~a\Jr — e 2 , d’évaluer en série l’expres 
sion 2T.a\Jî — e 2 de la circonférence inscrite, en y développant le 
radical par la seconde formule (28) [T. I, p. i5g]. Il vient 
d’où, pour la moyenne arithmétique de cette expression et de 2iza, 
( 
' (A ? - 
-u b) = ina 1 
(■¿9) 
série dont tous les termes entre crochets, sauf les deux premiers, sont, 
à la fois, négatifs et d’une valeur absolue visiblement plus forte que 
celle des termes analogues de (28). 
Ainsi, le contour de l’ellipse dépasse la moyenne arithmétique des 
deux circonférences inscrite et circonscrite, et, à plus forte raison, 
leur moyenne géométrique ( 1 ), 2ti \/ab ou 2Tra(i — e 2 ) 4 , qui serait, 
en développant (1 — e 2 ) 4 par la formule du binôme, 
(*) La moyenne arithmétique de deux nombres positifs donnés x, y dépasse 
x -h y 
/ rjQ | - q/ \ 2 
toujours leur moyenne géométrique, car son carré l —j excède le carré, xy. 
de la moyenne géométrique, leur différence étant la quantité 
> essentiel- 
lement positive. On peut voir d’ailleurs, sur ce sujet, le deuxième Fascicule, 
p. 5o*.