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INVARIABILITÉ D’üN VOLUME, QUAND ON CHANGE D’AXES. Il5
Soit ARSTB (p. 116) un corps quelconque, rapporté à un système
d’axes rectilignes 0.2?, 0/, Os, dont le premier, 0.2?, fait avec le plan
yOz des deux autres un angle connu o, complémentaire de celui,
proposera d'évaluer le rapport du nombre de ces cubes au nombre des cubes pareils
contenus dans le cube fini qui a son arête égale à l’unité. Chaque petit cube de lon
gueur dx comptera donc, dans le rapport cherché, pour la valeur dx 3 , vu que le cube
dont l’arête vaut i a ses dimensions fois p] us grandes et contient par suite, comme
on sait, un nombre de petits cubes exprimé par
Deux plans consécutifs
quelconques perpendiculaires à Ox, tels que le plan MNQ, dont l’abscisse OQ égale
x, et celui d’abscisse x -f- dx, comprendront entre eux, à l’intérieur du corps pro
posé, sensiblement autant de cubes, d’arête dx, qu’il y aura de carrés dx 2 décou
pés, par les plans normaux aux y et aux z, dans la section RST suivant laquelle
le plan MNQ intersecte le solide. Le nombre de ces petits cubes égalera donc,
sauf erreur relative négligeable, le quotient de l’aire z de la section RST par
l’aire dx 2 de l’un des carrés; et leur valeur totale, produit de fiLc 3 par leur nombre
sera zdx. Or il est clair que cette section faite dans le solide donné parle
plan MNQ se trouve parfaitement déterminée dès que l’on connaît l’abscisse OQ = x
du plan, en sorte que son aire <7 égale une certaine fonction, f {x), de x. Ainsi, les
cubes élémentaires contenus entre les deux plans consécutifs qui ont les abscisses
x, x -f- dx, entreront dans la somme à évaluer pour la part f{x)dx) et il est
clair que, si x 0 , x, désignent la valeur la plus petite et la valeur la plus grande
reçues par l’abscisse x dans tout le corps, l’expression totale indiquant le rap
port du nombre des cubes infiniment petits qu’il comprend, au nombre des cubes
pareils contenus dans le cube d’arête i, sera l’intégrale définie
/-• x i 1
/ zdx— I f{x)dx.
.ra
Ce rapport est donc une quantité parfaitement déterminée : on l’appelle le volume
du corps.
On verra, en procédant comme dans la note citée (p. g3), que le rapport limite
ainsi défini s’obtiendrait également par la décomposition du solide donné en par
ties quelconques, lesquelles s’évalueraient chacune isolément, et dont il suffirait
d’ajouter ensuite les valeurs. Enfin, après avoir démontré que des solides égaux,
pareillement orientés, ou même leurs symétriques par rapport aux plans coor
donnés, s’équivalent, comme ayant leurs volumes exprimés par des intégrales
dont les éléments zdx sont en môme nombre et respectivement égaux chacun à
chacun, on reconnaîtra qu’un déplacement quelconque, imprimé à un corps donné
et à une sphère liée à ce corps, ne fait pas varier le rapport de leurs volumes,
vu que des assemblages de petits cubes égaux, les remplissant autant que possible
et entraînés dans leur mouvement, resteront tous pareillement disposés et tou
jours en même nombre. D’ailleurs, comme aucun changement d’orientation ne
modifie la manière d’être de la sphère par rapport aux plans coordonnés, ni, par
suite, l’intégrale appelée son volume, l’intégrale analogue dite volume du corps
proposé restera, elle aussi, invariable, et sera la même non seulement pour des
corps égaux quelconques, mais encore pour leurs symétriques.
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