POUR LA CREATURE DES VOLUMES. 
la tranche a pour valeur 
<r X QP = cr dx cos i cpj = (sino)cr dx. 
Mais observons que, vu les données dont on dispose dans chaque 
cas et qui expriment la configuration du corps, la section <r détermi 
née par le plan MNQ se trouve définie dès que l’on connaît l’abscisse 
OQ — x de ce plan. Par exemple, si l’équation de la surface limite du 
corps ASB est F (x, y, z ) — o, le contour RST de a sera représenté au 
moyen de cette même équation dans laquelle, seulement, on fera x 
égal à la valeur constante OQ, et oü les seules variables seront les 
coordonnées y, z, d’ailleurs faciles à construire, sur le plan même de 
la section, par rapport aux deux axes Qy r , Qz r parallèles à O y et à 
Os. Donc, une quadrature effectuée dans le plan y' Qz r et revenant, 
pour toutes les sections analogues a, à les diviser en bandes minces 
de largeur dy par un même système de plans y — const. parallèles aux 
zx, permettra de calculer l’aire a, qui, généralement variable d’une 
section à l’autre ou avec l’abcisse^, sera une certaine fonction, désor 
mais connue, de x. Nous l’appellerons f{x) et poserons ainsi 
Alors l’expression de la tranche quelconque RS TT'S'R' devient 
(sin cp)f{x)dx ; et le volume total demandé est la somme d’une infinité 
de tranches pareilles, c’est-à-dire la somme de toutes les valeurs que 
prend le produit (sine?)f[x)dx quand x y croît, avec continuité, de 
puis la plus petite abscisse, que j’appellerai x 0 , des diverses régions 
du corps jusqu’à la plus grande, que j’appellerai x l . Les deux points 
A et B ayant respectivement cette plus petite et cette plus grande ab 
scisse seront en général ceux de contact de la surface limite ASB avec 
deux plans tangents menés parallèlement auxyz. On aura donc, pour 
la formule cherchée, 
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f a-dx = (sincp) / f{x)dx. 
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En résumé, le calcul d’un volume exigera deux intégrations, l’une, 
pour évaluer la section cr mesurant l’étendue du corps dans les régions 
de l’espace qui ont une abscisse donnée x, étendue proportionnelle au 
volume partiel, d’épaisseur dx sin es, étalé en quelque sorte sur cette 
section, l’autre, pour sommer ensuite tous les volumes partiels ana 
logues. 
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