CUBATURE DES VOLUMES : APPLICATION 
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292. — Premier exemple : tronc de cône ou de pyramide. 
Prenons comme premier exemple le tronc de cône ou de pyramide 
à bases quelconques, afin de montrer avec quelle facilité le Calcul in 
tégral atteint des résultats qui avaient demandé à la Géométrie élé 
mentaire d’assez longs raisonnements. 
Rapportons le cône donné à un système d’axes rectangulaires Ox, 
O y, O z, en choisissant pour origine le sommet O et pour axe des x 
la perpendiculaire OB menée du sommet O sur le plan de la grande 
base, Œj, du tronc de cône, perpendiculaire qui coupe, en A, le plan 
Fig. 5i. 
de la petite base a 0 . Ces bases a 0 , a, sont évidemment les deux sections 
a, parallèles aux^y,s, qui ont la plus petite abscisse, OA = ^ 0 , et la 
plus grande Enfin, la hauteur AB = h du tronc est la diffé 
rence OB — OA des deux abscisses extrêmes. 
Ce qui caractérise les sections a d’un cône ou d’une pyramide, c’est 
qu’elles sont toutes semblables et proportionnelles au carré de leurs 
distances OQ = x au sommet. En d’autres termes, le rapport — est 
ici constant, et l’on a, en appelant a sa valeur, 
( 2 ) a = a x' 2 . 
L’application de cette propriété revient évidemment à effectuer, de 
la première intégration qui doit donner a, toute la partie concernant la 
forme du résultat, et nous pourrons nous dispenser de compléter l’in 
tégration dont il s’agit; car cela ne serait nécessaire que pour évaluer 
le coefficient numérique a convenant à chaque espèce de section. 
Ainsi, portons la valeur (2) de a dans (i), où il faudra faire cp r= ^ 
puisque 0.3? est normal au plan des yz. Il viendra, par une intégration