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ET D UN SEGMENT DE PARABOLOIDE ELLIPTIQUE. T20 
au terme suivant, si on le compare à la dernière expression (8) du vo 
lume d’un ellipsoïde entier, et si l’on observe que, des trois facteurs 
2 b 
X\ — x 0 
2 a 
2 C 
X\ —- X 0 
2 a 
? proportionnels à 2«, 2 h, 2 c, le pre 
mier est la portion de Taxe des x comprise entre les deux bases du 
segment, on verra qu’il exprime le volume d’un ellipsoïde dont trois 
diamètres conjugués seraient parallèles à Ox, Oy, Oz et exprimés 
par ces trois facteurs, ellipsoïde évidemment semblable au proposé et 
semblablement placé, mais que l’on peut supposer inscrit entre les deux 
bases d 0 , ïj. Donc, un segment d’ellipsoïde égale., en volume, la 
somme d’un cylindre ayant sa base moyenne arithmétique des 
deux bases du segment, avec même hauteur que ce dernier, et d’un 
ellipsoïde semblable ci celui dont le segment fait partie et sembla 
blement disposé, inscrit entre les deux bases du segment. 
Quand l’ellipsoïde devient une sphère, cette proposition se réduit 
bien à celle que l’on démontre pour le segment sphérique dans les 
éléments de Géométrie. 
Mais considérons l’autre cas extrême où l’ellipsoïde, au contraire, 
s’allonge indéfiniment dans le sens de l’un de ses diamètres, ia par 
h2 c 2 
exemple, tandis que les rapports —, — conservent deux valeurs finies, 
p, q, choisies à volonté. On sait qu’alors, dans le voisinage de cha 
cune des extrémités du diamètre 2 a, et jusqu’à toute distance finie de 
cette extrémité, l’ellipsoïde dégénère en un paraboloïde elliptique quel- 
conque. D’ailleurs, à la limite a —oo, les rapports — , —, ou “> 
sont nuis, et b, c deviennent infiniment petits par rapport à a] de sorte 
que l’ellipsoïde semblable inscrit entre les deux bases d’un segment 
de hauteur finie s’aplatit et s’amincit jusqu’à zéro. Donc le dernier 
terme de la formule (ii) s’évanouit à la limite, et cette formule ex 
prime alors que le volume d’un segment quelconque de paraboloïde 
elliptique égale le produit de la demi-somme de ses deux bases par 
leur distance. 
Une des bases s’annule quand son plan devient tangent au parabo 
loïde, cas oCi la distance de ce plan tangent, à l’autre base restée finie, 
est la hauteur du segment, c’est-à-dire sa plus grande ordonnée abaissée 
normalement sur le plan qui le limite. Par conséquent, le volume dé 
taché d’un paraboloïde elliptique par tout plan qui le coupe est égal 
au produit de sa base par la moitié de sa hauteur. 
On remarquera l’analogie de cet énoncé avec celui, presque aussi 
simple, qui concerne l’aire d’un segment parabolique (p. xoo). 
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