DE L EVALUER EN UNITES PLANES. 
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de petitesse supérieur au leur ou supérieur, par conséquent, à Tordre 
même des dimensions de w. Ainsi, la projection de to' sur le plan de to 
aura avec to un rapport sensiblement égal à i. Comme, d’ailleurs, les 
faces ou portions de faces dont elle sera composée ne feront, avec 
tous les plans tangents voisins de to, ou avec to, que des angles extrê 
mement petits, donnant très sensiblement l’unité pour le rapport de 
chaque partie plane de tu' à sa projection partielle et, par suite, pour 
celui de to' à la projection totale, c’est le rapport — lui-même qui 
prendra la forme i -f- s, où s désigne une quantité évanouissante. Par 
conséquent, la seconde surface polyédrique dont il s’agit se trouvera 
décomposée en parties, to', correspondant aux faces to de la première, et 
ayant avec elles des rapports aussi proches que Ton voudra de l’unité; 
d’où il suit évidemment que le rapport général de ces deux surfaces 
totales n’est pas moins voisin de la même limite i, ou que la différence 
de leurs aires se réduit à une fraction infiniment petite de l’une d’elles, 
différence négligeable quand ces aires elles-mêmes, évidemment com 
parables, en général, à celles qu’entourent les projections de leurs 
contours sur un plan coordonné, sont finies. 
Ainsi, le fait de l’existence d’une limite, aire de la surface courbe, 
est bien démontré. Et Ton remarquera, de plus, que toute partie, to', 
très petite en tous sens, de cette aire, aura, à des infiniment petits 
près, ses divers éléments (limites des facettes de la seconde surface 
polyédrique), de même direction que le plan tangent mené en un 
quelconque de ses points; de telle sorte qu’on obtiendra sa projection 
sur un plan arbitraire donné en multipliant w'par le cosinus de l’angle 
de ce plan avec Je plan tangent dont il s’agit, comme si elle était 
située sur celui-ci. 
297. 
Aire des surfaces de révolution. 
Pour mettre sous la forme d’une intégrale définie la valeur de la 
surface courbe proposée, et en effectuer par là finalement le calcul, 
continuons à employer le procédé qui nous a déjà conduit aux expres 
sions générales des aires planes, des arcs et des volumes, en divisant 
la surface en bandes minces, par une famille de plans parallèles aux yz. 
Or il est deux cas, particulièrement simples, où, les axes étant sup 
posés rectangulaires, Tune quelconque de ces bandes, comprise par suite 
entre deux plans normaux aux x et ayant deux abscisses successives oc, 
x -h dx, s’exprime immédiatement par une différentielle F(x)dx, 
qu’il ne reste plus qu’à intégrer. Le premier, sur lequel nous n’insis 
terons pas puisqu’il a fait l’objet d’une longue étude (pp. q5 à 107), est 
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