QUADRATURE DES SURFACES COURBES : REDUCTION
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pellerai y 0 la plus petite QP 0 , y x la plus grande QP t , et, respective
ment, cp 0 (#), cpj (¿cr) leurs expressions.
Cela posé, soit RR'T'T la bande de surface à évaluer, comprise
Fig. 55.
entre deux plans consécutifs normaux auxx, QP 0 RTP 1? Q'P' 0 R'T'Pj,
ayant pour abscisses x et x + dx. Le système des plans perpendicu
laires à O y la divisera en éléments d’une courbure insensible, comme
MM'N'N, qui se projetteront sur le plan des.3?y suivant des rectangles,
tels que mm'n'n, d’une largeur constante mm' = QQ'= dx, et d’une
longueur, 77i7i, variable ou non, mesurant l’espacement dy de deux
plans consécutifs de ce second système. On aura donc, si y désigne
l’angle aigu de la normale à la surface, en M, avec l’axe des z, angle
dont le cosinus a pour inverse \ji -h/P-r q 2 (t. I, p. 258),
Aire m m’n! n = dx dy
et Aire MM'N'N =
dx dy
cosy
= \Ji -+- p i -^-q-dxdy.
Ainsi se trouve exprimé un élément de bande, en fonction de dx,
dy et des coordonnées x, y de son premier sommet M, qui est celui
pour lequel ces coordonnées sont les moindres. Or, quand on consi
dère successivement, pour en faire la somme, tous les éléments, comme
MM'N'N, d’une même bande, les deux quantités x ■=. OQ et dx — QQ'
sont invariables, tandis que y varie avec continuité, par accroissements
dy, comme nui, uniformes ou non, depuisy 0 — QPo— ToO?) [ 0Ll plutôt
depuis une valeur infiniment peu supérieure à celle-là, si 1 on ne veut