DE TOUTE AIRE A UNE INTÉGRALE DÉFINIE. l33 
pas compter un élément de surface, insignifiant, ébréché par le con 
tour], jusqu'à y x — QPj zzr ©j (x) [sauf, de même, une erreur négli 
geable]. Donc la sommation des éléments composant la bande RR/T'T 
donnera, par le transport du facteur commun dx hors du signe f, la 
formule cherchée, 
05) 
Aire R R'T'T = 
dx, 
dans le second membre de laquelle l’intégration indiquée doit se faire 
uniquement, comme on voit, par rapport à y, c’est-à-dire pour une 
valeur invariable OQ de la quantité x dont dépend aussi la fonction 
i p 2 -\~q 2 . Mais, les deux limites cp 0 ( ¿r ), v y {x) de y dépendant de 
x, le résultat de cette intégration indiquée par J \Ji + p* -h q* dy 
devient, en définitive, une certaine fonction F de x seul, comme il ar 
rivait dans le calcul de la base a d’une tranche élémentaire or dx quand 
il s’agissait d’évaluer un volume. Donc l’expression (i5) de faire d’une 
bande sera bien de la forme voulue F(x)dx; et une deuxième intégra 
tion, par rapport à x, entre les deux abscisses extrêmes Oa = x 0 , 
O ¡3 — x 1} donnera, pour obtenir faire demandée de la surface courbe 
ARBTS, la formule générale 
(16) 
dx. 
300. — Exemples : surfaces d’un triangle sphérique trirectangle 
et de la voûte de Viviani. 
Pour montrer l’usage de cette formule (16), appliquons-la au calcul 
de faire du triangle sphérique trirectangle ABC (p. i34) appar 
tenant à la sphère x--\-y 2 -\-z 2 — R 2 et compris dans l’angle des 
coordonnées positives, ainsi qu’à ce qui reste de ce triangle curviligne 
quand on en ôte toute la partie, ATBi, dont la projection sur le plan 
des zx est le demi-cercle A.pO décrit sur OA comme diamètre. On y 
aura évidemment x Q —0, x l =-Ok. — R. De plus, la section de la 
I surface par le plan SP 0 £, d’une abscisse constante x = OP 0 comprise 
entre zéro et R, sera le quart de petit cercle S t pour le triangle, mais 
seulement sa partie ST, projetée en S p sur le plan des zx et en P 0 Pi 
sur celui des xy, pour faire BTAG que l’on veut évaluer à part : d’où 
il résultera, dans le premier cas, 
7o ou <p 0 (a;)=o, yq ou oi{x)=P 0 t=\jot- OP 0 =/R 2 — x 2 , 
I