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ET DE LA VOUTE DE VIVIANI. 
135 
j ~R 
f - dx — R 2 , ou le 
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double de la projection AOB — ~ R 2 du triangle sphérique ABC sur 
le plan des xy. Il en résulterait bien, pour un hémisphère entier 
4(ABC), une aire égale à deux fois son cercle de base ttR 2 . 
Quant au second membre de (18), si l’on observe que l’angle aigu 
dont le sinus est 
[/> 
^ —, il prend la forme R 2 j — \/ R/ R 
a pour cosinus 
arc co t 
V 7 : 
et pour cotangente 
, que l’on réduit à 
R 2 / (arc coV u) d {id), en appelant u et introduisant comme variable 
d U —0 
d’intégration, au lieu de x, le rapport y/croissant de zéro à i 
pendant que x grandit de zéro à R. Or une intégration par parties, 
où l’on observera crue — iC-d arccot« C ^ U - —du — — , donne 
1 i -r- a 2 i -f- ce 2 
l /(arccot u)d{ « 2 ) — u 2 arccot et—/« 2 6? arccot« 
( = « 2 arccot u -h u — arctang u -h const., 
c’est-à-dire simplement i, entre la limite u — o, qui annule les trois 
termes variables du dernier membre, et la limite u — x, qui rend 
égaux arctang ce et arccot ce. Par conséquent, la formule (i8) devient 
(ig) Aire sphér. ATRGA == R 2 = le carré ADRO. 
Ce résultat remarquable est dû à Yiviani, géomètre italien du 
xvn e siècle. Il en déduisit qu’une voûte hémisphérique mince, com 
posée de quatre triangles trirectangles, comme ABC, réunis autour 
du sommet C, acquiert une surface extérieure commensurable, égale 
au carré du diamètre 2 R de sa base, quand on y ouvre quatre 
fenêtres pareilles à A ¿BT, ou se projetant suivant deux demi-cercles 
sur le plan diamétral des zx. 
On remarquera que, si le triangle sphérique entier ABC est le double 
de sa projection AOB t sur le plan des xy, la surface partielle AïBCA 
vaut seulement une fois et demie la sienne. En effet, l’expression de 
celle-ci, vu la valeur x/R(B — x) de l’ordonnée y — P 0 Pi du point T, 
est 
J y/R(R—a?) dx = — | [(^ — #p]o 
± R 2 = ± aire ATRGA.