VINGT-HUITIEME LEGON. 
INTÉGRALES MULTIPLES ET LEUR USAGE; CENTRE DE GRAVITÉ DES 
FIGURES; VOLUME ET SURFACE LATÉRALE DU TRONC DE PRISME; 
THÉORÈME DE GULDIN. 
303. — Des intégrales doubles; exemple qu’en donne l’expression 
générale d’un volume en coordonnées rectangulaires. 
Le calcul des volumes et des surfaces courbes nous a conduits, 
dans la dernière Leçon, à des expressions de la forme 
où le produit d’une fonction F de deux variables indépendantes xety 
par leurs différentielles dx, dy se trouve intégré une première fois 
par rapport à l’une de ces variables, y, entre deux limites dépendant 
de l’autre, x, restée constante ainsi que sa différentielle dx pendant 
cette intégration, et oü le résultat ainsi obtenu, de la forme f\x)dx, est 
lui-même intégré ensuite par rapport à celte autre variable x, entre 
deux limites données. L’on donne à une telle somme le nom d'inté 
grale double, pour la distinguer de celles qui, comme / f{x)dx, 
impliquent une seule intégration; et les termes élémentaires dont elle 
se compose, ou qui sont affectés des deux facteurs infiniment petits 
dx, dy, s’appellent les éléments de l’intégrale, tandis que leur expres 
sion commune, F[x,y)dxdy, en est dite Vélément général. L’inté 
grale comprend, comme on voit, une double infinité de valeurs suc 
cessives de celui-ci, F {x, y)dxdy, obtenues en faisant varier x et 7, 
avec continuité, dans tout le champ que définissent les limites et 
qu’entoure, sur le plan des xy (quand x et y sont des coordonnées), 
la courbe fermée dont les diverses parties ont pour équations 
y — cp 0 (x), y = îdj (x), x — x 0 et x = Xi. 
Ces détails ressortent surtout de l’évaluation généi’ale des aires 
courbes (p. 182); mais, comme la fonction qui s’y présente sous les 
signes /, savoir \J 1 p* -h q 2 , n’a pas des rapports simples avec la