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INTÉGRALES TRIPLES : EXPRESS. DES VOLUMES PAR UNE INTÉGR. TRIPLE. 1^1 
ments tels, qu’il ne puisse pas y avoir lieu de les réduire? Ces filets 
ayant conservé une dimension finie, la longueur M 0 M 1} il est évident 
qu’on obtiendra des volumes plus simples encore, en rendant cette 
dimension elle-même infiniment petite. Il suffira, pour cela, de mener 
un troisième système de plans, normaux à Oî, de même qu’on en a 
mené de normaux soit à Ox, soit à O y. Alors le filet M 0 Nj se trou 
vera partagé, abstraction faite, à chaque bout, d’un tronçon négli 
geable, en une infinité de parallélépipèdes rectangles, dont les trois 
dimensions infiniment petites égaleront les trois accroissements, dx, 
dy, dz, qu’éprouveront les coordonnées respectives caractérisant les 
plans menés dans les trois systèmes par les divers points (x, y, -), 
quand on passera de chacun de ces plans au plan suivant du même 
système. 
En conséquence, l’on aura, pour le véritable élément de volume, l’ex 
pression générale, doc dy dz, des parallélépipèdes ainsi construits, et ce 
n’est pas deux intégrations, mais trois, que demandera le calcul d’un 
volume fini. Effectivement, le filet M 0 Nj étantla somme des parallélépi 
pèdes rangés en une file parallèle aux .s, ou pour lesquels les coordon 
nées^,^ d’une arête, et leurs accroissements dx, dy de cette arête aux 
voisines, sont les quantités constantes x — OQ, y — Qm, dx — mm 1 , 
dy-= ma, l’on formera sa valeur en opérant une première sommation, 
par rapport à z, c’est-à-dire sans faire varier ni x, ni y, ni leurs diffé 
rentielles dx, dy. Celles-ci constituent donc alors, dans fdxdydz, 
deux facteurs communs à tous les éléments; et la somme obtenue est 
dx dy § dz, ou, sous une forme plus explicite, dxdy I dz, puisque- 
f z 0 
y croît, dans l’intérieur du corps, depuis la valeur //iM 0 = - 0 jusqu’à 
la valeur mM^q. Nous savons d’ailleurs comment une intégration, 
en y, groupe ensuite toutes les sommes analogues, où x et dx ont 
de mêmes valeurs comme OQ et QQ', pour donner l’expression, 
X y l x* z l 
dy / dz, d’une tranche RSTT'R'S', et comment, enfin, 
. dz a 
toutes les tranches s’ajoutent dans une troisième intégration, par 
rapport à x, qui donne ainsi, sous deux formes équivalentes, comme 
expression générale la plus naturelle d’un volume V, 
,r=x, ~y=y i r.z—z, ~Xi X-qyx) nfA x ',y) 
(4) y — / / / dx dy dz = I dx I dy I dz. 
d x -x a dy=y 0 *Vo (f,r) 
Si cette expression se réduit à l’intégrale double (3) [p. ijo], c’est 
uniquement parce que la première intégration à opérer, du produit