J 46 SIGNIFICATION ET USAGE DES INTEGRALES MULTIPLES; 
est le calcul de la valeur moyenne générale d’une fonction de point, 
F(x,y,z,t), variable d’un instant à l’autre, et considérée en des 
temps t pouvant être différents pour différentes parties de l’espace 
ou, ce qui revient au même, dans des régions {x, y, z) dont les li 
mites peuvent changer en fonction du temps t. Un tel calcul implique 
une division préalable, en éléments égaux, non seulement de l’espace, 
que je supposerai partagé en parallélépipèdes infiniment petits pareils 
dxdy dz, mais encore du temps t, dont j’appellerai dt les parties égales. 
Et il implique de plus que, pour chaque subdivision ainsi obtenue de 
l’espace et du temps, censée caractérisée ou définie par les plus petites 
valeurs qu’y reçoivent x, y, z, t, l’on considère et fasse entrer dans 
l’évaluation de la moyenne une valeur F(x,y, z, t) de la fonction. Si 
l’on a soin d’écrire cette valeur - F(x,y,z, t)dxdydzdt, où s dé 
signe, pour abréger, le produit constant dx dy dz dt, la sommation 
de toutes les valeurs analogues donnera, au facteur commun près 
l’intégrale quadruple ffffF{x,y, z, t) dx dy dz dt, dans laquelle les 
limites des intégrations dépendront évidemment de celles d’espace et 
de temps que l’on se donnera dans chaque cas. Enfin, pour avoir la 
valeur moyenne de F, il suffira de diviser cette somme par le nombre 
de ses parties, nombre qui est évidemment ce que serait la somme 
elle-même dans l’hypothèse F=i, et qu’exprime, par suite, sauf en 
core le facteur - , l’intégrale ffff dx dy dz dt, prise entre les mêmes 
limites données. 11 viendra donc, comme valeur moyenne cherchée, le 
rapport des deux intégrales quadruples ffffF(x, y, z, t) dxdy dz dt 
et ffff dx dy dz dt. La seconde se réduit d’ailleurs immédiatement à 
une intégrale triple; car l’on aura, par exemple, entre les deux limites 
à considérer t—t ü , t~ t y , données, pour chaque élément de volume 
dxdy dz, en fonction de ses coordonnées x, y, z, 
I dx dy dz dt = dx dy dz f 
1 0 J/ 0 
dt — ( t\ — t 0 ) dx dy dz. 
expression ne restant plus à intégrer qu’en x, y et z. 
Mais résumons-nous, pour les cas plus usuels où le degré de mul 
tiplicité des intégrales ne dépasse pas le troisième. 
D’après ce qui précède, tout problème de sommation concernant 
une étendue à trois dimensions (volume et masse d’un corps, valeur 
moyenne d’une fonction de trois coordonnées aux divers points d’un 
solide, etc.) dépend généralement d’une intégrale triple. La raison en