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INDIFFERENCE DE L ORDRE DES INTEGRATIONS. 
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est que l’élément naturel d’une telle étendue se trouve exprimé par 
un produit de trois facteurs infiniment petits, vu qu’il doit être infi 
niment petit dans les trois sens pour que tous ses points occupent 
presque la môme position {x, y, z) et que les circonstances à consi 
dérer y soient, par suite, à fort peu près identiques, ou exprimées 
par une même valeur F(x t y,z) de la fonction qui les représente 
sous l’unité de volume. De même, toute question analogue concernant 
une surface (aire et masse d’une couclie mince de matière, valeur 
moyenne d’une fonction aux divers points d’une étendue superfi 
cielle, etc.) dépend généralement d’une intégrale double; car l’élé 
ment d’aire naturel est une surface ayant ses deux dimensions infini 
ment petites. S’il s’agit, par exemple, d’une aire plane rapportée à 
des axes rectangulaires des x et des y, les éléments naturels seront les 
rectangles dx dy découpés par les deux systèmes de droites x — const., 
y — const. 
Les lignes sont donc les seules figures qui, par l’addition de quan 
tités concernant leurs diverses parties, ne donnent lieu qu’à des inté 
grales simples; car ce sont les seules dont l’élément naturel, savoir, 
un arc infiniment petit ds, ne s’étende que suivant un sens et ne con 
tienne par suite, dans son expression, qu’un seul facteur infiniment 
petit. 
300. — Interversion possible de l’ordre des intégrations, 
dans une intégrale multiple. 
Une intégrale multiple conserve évidemment sa valeur quel que 
soit l'ordre dans lequel on y groupe les éléments, pourvu que ceux-ci 
restent au fond les mêmes quand on fait varier la manière de les 
ajouter, c’est-à-dire pourvu que la fonction sous les signes f et les 
limites entre lesquelles se meuvent les variables soient bien dé 
finies. 
Donc, à condition de ne pas modifier le champ, on pourra changer 
l’ordre des intégrations et, s’il s’agit, par exemple, d’une intégrale 
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double de la forme / dx I f{x,y)dy, avec f{x,y) constam- 
*/r 0 
ment fini, effectuer en premier lieu l’intégration par rapport à x, au 
lieu de l’intégration par rapport à y; ce qui, en se reportant à la 
figure précédente (p. 138), reviendra à grouper ensemble les éléments 
f{x,y)dxdy pour lesquels j et dy seront les mêmes, savoir, les filets 
prismatiques, de hauteur /{x, y), se projetant, sur le plan des xy, 
entre deux perpendiculaires consécutives à l’axe des y, comme KKj 
et K'Kj. On voit] que les éléments dont il s’agit seront bien ceux 
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