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l48 INTÉGRALES MULTIPLES : INDIFFÉRENCE DE L’ORDRE DES INTÉGRATIONS. 
de l’intégrale proposée, si l’on fait varier x entre les valeurs KK 0 , KK t , 
qui égalent deux certaines fonctions de OK —y, plus ou moins aisées 
à obtenir en résolvant l’équation du contour par rapport à x et non 
par rapport à y. Par conséquent, ces nouvelles limites, destinées à 
fixer l’étendue dans laquelle x varie pour chaque valeur de y, pour 
ront toujours se déduire de celles, ^ 1 = tp 1 (¿r) et y 0 = y 0 {æ), qui dé 
finissaient l’étendue où variait y pour chaque valeur de x, et qui 
déterminaient ainsi complètement le contour limite A'PqB'PjA'. 
L’intégration par rapport à x une fois effectuée, ou, autrement dit, 
les filets prismatiques du volume à évaluer une fois groupés en 
trancheè minces normales à l’axe des y, il ne restera plus qu’à faire 
la somme de toutes ces tranches, en intégrant, par rapport à y, entre 
deux limites constantes ; et celles-ci se déduiront encore de la con 
naissance du contour limite, car elles seront la plus petite et la plus 
grande des valeurs reçues par y sur tout ce contour. 
Ainsi, Von peut toujours intervertir l’ordre des intégrations, 
pourvu qu’on évalue convenablement, dans chaque cas, leurs li 
mites respectives. 
Mais, si les limites étaient constantes, si, par exemple, dans 
dx I f{x, y) dy, les deux expressions y 0 = <f 0 {x), y t — cp t (x) 
y o 
devenaient indépendantes de x, ou que les deux portions A'P 0 B', 
A'PiB' du contour fussent remplacées par deux parallèles à l’axe 
des x et reliées l’une à l’autre par les parties des ordonnées a A', ¡3B' 
qu’elles intercepteraient, il est évident que, pour toute valeur OK 
de y, les deux valeurs limites, KK 0 et KK 1; de x, égaleraient Oa et 
O p, ou x 0 et x lf quantités constantes; et y varierait ensuite entre les 
deux valeurs extrêmes y 0 , y 1} également constantes. On aurait donc 
( 7 ) / dx I A x ,y)dy = I d Y j fi x ,y)dx. 
Par conséquent, lorsqu’une intégrale multiple est prise entre des 
limites toutes constantes, on peut y intervertir et volonté l’ordre 
des intégrations sans modifier aucunement les limites de celle qui 
s’y fait par rapport à chaque variable. 
307*. — Exemple simple d’une telle interversion, dans un cas 
où les limites sont variables. 
(Compléments, p. 8o*.)