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CENTRES DE GRAVITE, DEFINIS COMME POINTS A COORD. MOYENNES.
308*. — Intégrale quadruple réduite à une intégrale triple par l’inter
version des intégrations; sommation d’actions ou d’influences exercées
aux distances imperceptibles dans un corps, à travers une petite
surface plane.
(Compléments, p. 81*.)
309.
Du centre de gravité des figures.
La détermination du centre de gravité des corps est l’un des pro
blèmes les plus intéressants où s’emploient les intégrales multiples.
Or, bien que cette question relève surtout de la Mécanique, il y a
lieu d’en dire quelques mots dans un Cours d’Analyse, parce que la
notion de centre de gravité ne s’applique pas seulement aux masses,
mais encore aux simples figures géométriques, pour lesquelles elle
conduit, comme on verra, à de remarquables théorèmes.
On appelle centre de gravité d’un corps le point dont chaque
coordonnée, relative à un système quelconque d’axes rectilignes, est la
moyenne arithmétique des coordonnées analogues prises pour les élé
ments d’égale masse, infiniment petits en tous sens, auxquels on peut
toujours supposer le corps réduit. En d’autres termes, si M est la masse
totale du corps, composée d’un nombre fini ou infini, n, de masses
égales m n’occupant, chacune, qu’un espace infiniment restreint ou
d’une situation définissable par les coordonnées x, y, z d’un quel
conque de ses points, le centre de gravité, que j’appellerai G, sera le
point dont les coordonnées X, Y, Z auront les valeurs
„ i „ ~Lmx
X = - _ — ;
n M
rj _ I v
~ n 2 ~ ~ M :
le signe de sommation
s’étendant à tous les éléments m de la
masse M.
Conformément à la définition donnée, ce point reste bien le même
quand on change à volonté les axes. Si, en effet, x u y 1} z t et X 1? Y ( , Z x
désignent respectivement les coordonnées, par rapport à un second
système d’axes, de l’élément quelconque m et du point G, dont les
coordonnées dans le premier système sont, de même, ¿r, y, z et X, Y,
Z, toutes ces coordonnées nouvelles s’exprimeront, comme on sait, en
fonction des anciennes, au moyen de relations linéaires, de la forme
(16) Xi = a + «X + b Y -h c Z, x v —o.axbycz.
Remplaçons, dans la première de celles-ci, X, Y, Z par leurs valeurs
V a
et a par l’expression équivalente —? où Sa désigne la
l(x,y, z)
