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154 EMPL. DES CENT. DE GRAY. DANS LE CALCUL DES SURF. ET SOL. DE RÉVOL. :
par définition, la valeur moyenne, - / xds, de x sur tout le con
s - s
tour s, et l’expression (tangcp) 1 xds pourra être remplacée par
'J S
s x OG.tangcp ~sx GH. Si donc on appelle h' la hauteur du tronc
mesurée au-dessus du centre de gravité du contour de la base, il vien
dra, pour la valeur de la surface latérale, sh'.
En résumé, le volume et la surface latérale du tronc de prisme
droit s’obtiennent en multipliant respectivement ou sa base, ou le
contour de sa base, par la hauteur correspondante du tronc, me
surée perpendiculairement au-dessus du centre de gravité soit de
cette base, soit de ce contour.
311. — Théorèmes de Guldin ou de Pappus.
Imaginons actuellement que l’angle cp des deux bases devienne infi
niment petit. Alors les ordonnées z, telles que mM, ne présenteront
que des différences et des écarts infiniment petits du second ordre
d’avec les chemins que décriraient les divers points de la figure acb,
si on la faisait tourner de l’angle cp autour de 0/ pour l’amener dans
le plan ACB; car l’ordonnée mM, située dans le plan mQM de l’arc
de cercle, perpendiculaire à O y, qu’un pareil mouvement ferait par
courir au point m, et d’ailleurs normale au rayon Qm de cet arc,
est tangente à ce dernier, dont l’extrémité, sur le plan ACB, ne se
trouve, par suite, qu’à une distance de M infiniment petite du se
cond ordre. Il résulte évidemment de là que le volume ou l’aire engen
drés par chaque élément de la surface acb ou de son contour ne
pourront pas différer, d’une manière appréciable, du volume et de la
surface ayant ces éléments comme base dans le tronc de prisme, et
que, par suite, le volume total et l’aire totale décrits seront égale
ment les produits respectifs de la surface acb, ou de son contour, par
le chemin infiniment petit, sensiblement égal, dans chaque cas, à GH,
qu’aura parcouru le centre de gravité de cette surface ou de ce con
tour.
Et si, après cette rotation infiniment petite de la figure acb, il en
survient une seconde, soit autour du même axe Oy, soit autour d’un
autre axe situé dans le plan ACB de sa nouvelle position, l’aire et le
volume décrits pendant ce second mouvement égaleront encore les
produits respectifs des multiplicandes employés déjà, contour ou sur
face, par le nouveau chemin qu’aura parcouru le centre de gravité
considéré. En continuant de même pour une infinité de rotations suc