THÉORÈME DE GULDIN OU DE PAPPUS. 
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cessives, puis faisant la somme des aires ou des volumes qui naissent 
de ces déplacements, il est clair que l’on obtiendra un théorème ainsi 
conçu : 
Toute figure plane ( ligne ou surface), qui se meut en tournant 
autour d’un axe ou d’axes situés à chaque instant dans son plan, 
décrit une autre figure (surface ou volume) égale au produit de 
la figure génératrice par le chemin que parcourt son centre de 
gravité. 
Notre raisonnement suppose les axes de rotation, extérieurs à la 
figure génératrice dont on considère le centre de gravité. Quand il 
n’en est pas ainsi, mais que Taxe de rotation coupe la ligne ou sur 
face génératrice, la partie de celle-ci située au delà de l’axe par rap 
port au centre de gravité, décrit àfort peu près, dans chaque rotation 
élémentaire, Je volume ou la surface latérale d’un prisme tronqué 
dont les abscisses x et les ordonnées z, sur la figure de la page i53, sont 
négatives, ou tracées dans l’angle dièdre opposé par l’arête à xOyB. 
Ces coordonnées x et z se prennent, par suite, négativement, tant dans 
l’équation z~x tango et dans la formule qui relie les abscisses x à 
celle du centre de gravité considéré G, que dans l’expression analy 
tique zds ou zds des éléments d’espace (aires ou volumes) décrits. 
Donc le môme énoncé subsiste, mais à la condition d’y compter sous- 
tractivement, c’est-à-dire négativement, les parties de la figure en 
gendrée qui proviennent des parties de la figure génératrice non 
comprises du môme côté de l’axe que son centre de gravité gé 
néral. 
Cette belle proposition est ordinairement appelée théorème de 
Guldin, du nom du P. jésuite qui l’a exposée vers le commencement 
du xvu e siècle ; mais elle avait été découverte dès l’antiquité, carie 
géomètre grec Pappus, d’Alexandrie, savait, au iv e siècle de notre ère, 
l’utiliser dans le calcul des volumes. On s’en sert, tantôt pour obtenir 
l’expression d’un volume ou d’une surface de révolution, quand on 
connaît, dans la figure génératrice, la position du centre de gravité, 
et tantôt, au contraire, pour déterminer cette position, quand l’ex 
pression de la figure engendrée se trouve connue. 
312. — Surface et volume du tore ou anneau. 
Contentons-nous ici d’en déduire la surface et le volume du tore. 
On appelle ainsi le corps, en forme d’anneau, que décrit un cercle, 
d’un rayon donné r, en tournant autour d’un axe pris dans son plan, 
mais extérieur, ou passant à une distance R du centre plus grande