ÉTUDE DIRECTE DES INTÉGRALES DÉFINIES ET PROCÉDÉS SPÉCIAUX
DE CALCUL POUR CERTAINES D’ENTRE ELLES.
317. — Différentiation d’une intégrale définie.
Nous n’avons, jusqu’ici, évalué les intégrales définies qu’en suppo
sant connues les intégrales indéfinies ou fonctions primitives dont
elles expriment les accroissements dans certains intervalles. Or le sens
précis qu’elles oiTrent, comme sommes d’éléments infiniment petits
d’une forme donnée f{x,y, . . . )dxdy . . . occupant ensemble un
champ d’intégration donné, permet évidemment de s’en faire, avant
tout calcul, une idée nette, suffisante pour leur découvrir des pro
priétés diverses; et l’on conçoit que celles-ci puissent quelquefois
conduire jusqu’à l’évaluation complète des intégrales sans passer par
les fonctions primitives. La Leçon actuelle aura justement pour objet
une exposition succincte des principaux procédés servant à cet effet.
Il est clair, par exemple, que, si la fonction / placée sous les signes
//, et y multipliant le produit dx dy. . . des différentielles des va
riables x,y, . . . d’intégration, dépend non seulement de ces variables,
mais encore d’un paramètre c, l’intégrale, elle aussi, dépendra géné
ralement, comme tous ses éléments f{x, y, ...) dx dy ..., du para
mètre c. Or faisons croître ce paramètre d’une très petite quantité Ac,
mais admettons d’abord que le champ de l’intégrale, déterminé paí
ses limites, reste le même; ce qui permettra de conserver à tous les
éléments, sans en introduire ni en abandonner aucun, leur champ
primitif, tant sous le rapport de L’étendue dx dy.. . que sous celui
de la situation, définie par les valeurs correspondantes de x, y, .. ..
Chaque élément f{x, y, . . . ,c) dx dy. . . croîtra, sauf erreur relative
négligeable, de
df{x,y, .. ,,c)
de
A c
facteur Ac pour tous les éléments,
sera, de même, c’est-à-dire avec
dx dy. . ., et, vu la constance du
l’accroissement de leur somme
une erreur relative analogue,
<“>//• ■ ■
df{x,y,.. ..c)
de
dx dy...,
expression où les intégrations
