DIFFÉRENTIATION D’UNE INTÉG. A CHAMP SOIT CONSTANT, SOIT VARIABLE. l5g 
indiquées //. . . auront évidemment les mêmes limites que dans l’in 
tégrale proposée. Divisons cet accroissement de l’intégrale par celui, 
Ac, de la variable indépendante corrélative c, puis faisons tendre Ac 
vers zéro, et il viendra, pour la dérivée de l’intégrale par rapport à c, 
l’expression J f ■■■ — ■ ■ ——dx dy—D’où ce théorème, connu 
déjà de Leibnitz, que la dérivée, par rapport à un paramètre, de 
toute intégrale définie ci champ invariable, mais où la fonction 
sous les signes f (supposée d’ailleurs finie et continue) dépend de 
ce paramètre, s’obtient par une différentiation sous les signes f, 
c’est-à-dire en y substituant simplement à la fonction sa dérivée 
relative au paramètre dont il s'agit. Ainsi la dérivée de l’intégrale 
s’exprimera, sans qu’on ait aucune intégration préalable à effectuer, 
au moyen d’une nouvelle intégrale. 
Mais supposons maintenant les limites de l’intégrale proposée va 
riables en même temps que la fonction f placée sous les signes f. Alors 
on pourra, soit garder les éléments f{x, y, . . . ,c)dx dy. . . toujours 
en même nombre, en faisant varier convenablement la situation 
(x, y, . ..) et la grandeur dx dy ... de leurs champs respectifs, soit, 
au contraire, ce qui est généralement préférable, laisser aux divers 
éléments f{x, y, . . . ,c) dx dy . . . un champ invariable, ou y faire 
changer uniquement c, mais, alors, ajouter des éléments nouveaux 
dans toute l’étendue, contiguë à certaines limites, gagnée d’un instant 
à l’autre par le champ de l’intégrale, et supprimer d’autre part ceux 
dont le champ, contigu à d’autres limites, est perdu ou abandonné 
par elle. Un changement infiniment petit de l’intégrale se composera 
donc d’une première partie, dite entre les limites, donnée par la dif 
férentiation sous les signes f, et à laquelle il se réduirait si les limites 
restaient les mêmes, plus une seconde partie, dite aux limites, formée 
par l’excédent des éléments gagnés sur les éléments perdus, ou pro 
venant du déplacement infiniment petit des limites du champ. 
Pour avoir plus de précision relativement à cette dernière partie, 
bornons-nous au cas d’une intégrale simple, que nous écrirons 
r b 
/ f{x, c) dx. Faisons-y varier c de de, a de da et b de db, en sorte 
a 
~b-hdb 
qu’elle devienne / f{x,c- J r dc)dx. Le nouveau champ, s’éten- 
a-\-d a 
dant depuis x~a-yda jusqu’à x=zb-+-db, a évidemment gagné db du 
côté de la limite supérieure et perdu da du côté de la limite inférieure. 
Comme la fonction sous le signe / diffère infiniment peu def(b,c) 
près de la première de ces limites et de f(a,c) près de la seconde,