l6o DIFFÉRENTIATION D’UNE INTÉGRALE A CHAMP VARIABLE. 
l’élément gagné sera f{b, c)db, l’élément perdu, /{a, c) da, et l’excé- 
p ^ d fi x c ) 
dent de l’un sur l’autre, à joindre à l’accroissement (c/c) j J ^ ’ ■ dx 
calculé dans l’hypothèse de limites invariables, donnera, en somme, 
comme différentielle totale de l’intégrale définie, 
(i) dJ" f{x,c)dx=/{h,c)db—f(a,c)da-{-dc J* * dx. 
b+db 
On le voit encore en faisant, dans / /(¿O c -+- de) dx, varier x, 
a+d a 
d’abord, de la limite inférieure a -h da à a, puis de a à b et, enfin, 
de b à la limite supérieure b + db. Cette intégrale se trouve être 
ainsi la somme de trois autres, dont la première, f /{&, c~[-dc)dx, 
a+da 
peut évidemment être remplacée par / f(a,c)dx=z—f\a,c)da, 
d a+da 
dont la seconde, / f{x,c~\-dc)dx, dépasse l’intégrale primitive 
a 
J' f{x,c) dx, de C ^ dc^j dx — de J C ' > dx, et dont, 
, b+db 
enfin, la troisième, 1 f{x,c- J r dc)dx, analogue à la première, 
db 
j s* b-\-db 
f{b,c)dx=/{b,c)db. Par suite, l’excédent 
b 
d j f{x,c)dx, sur / f{x,c)dx, delà somme de ces trois inté- 
a a 
grales, conduit bien à la formule (i). 
Les deux termes du second membre de (i) relatifs aux limites, 
savoir J\b, c) db et — /‘(a, c) da, peuvent d'ailleurs, en adoptant une 
notation qui nous est familière pour désigner la différence des 
deux valeurs d’une expression à deux limites, s’écrire ensemble 
[/(¿c, c)dx^ffzff a , ou même, sous une forme plus condensée, [y (a?, c)c/cc]f t . 
Ainsi, la formule (x) sera encore 
(2) 
1 J ZO,c) 
dx = \f{x, c) dx^-r- de 
j: 
df{x. c) 
de 
dx. 
Imaginons que a et b, de même que tous les paramètres pouvant 
figurer dans f{x,c), dépendent de c : nous obtiendrons la dérivée 
complète de l’intégrale en divisant par de chaque terme du second 
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