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INTEGRALES DEFINIES, CALCULÉES FAR LA DIFFÉR. SOUS LE SIGNE /. 
membre de (2) ou de (1). Il vient donc pour cette dérivée complète, 
si b' et a' désignent les dérivées de h et a oar rannort à r. 
'■ désignent les dérivées de b et a par rapport à c, 
Dans le cas particulier où les limites a, b deviennent constantes, la 
dérivée de 1 intégrale s’obtient bien, comme il était évident, par la 
simple différentiation de/{¿c, c) sous le signe /. 
318. — Évaluation de certaines intégrales définies, par la différentiation 
d’autres intégrales sous les signes /. 
Supposons qu’on ait obtenu, soit par le procédé ordinaire, qui con 
siste à calculer d’abord l’intégrale indéfinie et à évaluer son accrois 
sement entre les deux limites, soit par l’une quelconque des méthodes 
spéciales dont il sera bientôt question, la valeur d’intégrales définies 
b 
de l’une des deux formes / f{x, c) dx, / /(¿c, c) dx, c’est-à-dire 
^ a 
ayant ou leurs deux limites constantes ou une limite, x, variable, 
mais indépendante du paramètre c. Nous désignerons respectivement 
par o(c) et par F(x. c) leurs valeurs, fonctions de c seulement dans 
le premier cas, de x et de c dans le second. Posant ainsi les égalités 
(4) 
différentions les deux membres de chacune par rapport à c, et il 
viendra 
a 
a 
On aura donc, sans aucune intégration nouvelle, mais par la simple 
différentiation, en c, de o(c) ou de F{x, c), les deux intégrales con 
stituant les premiers membres de (5). La seconde possède, comme 
celle dont on l’a déduite, la même généralité qu’une intégrale indé 
finie, à une constante arbitraire près, puisque la limite supérieure, x, 
y est variable. Quant à la première, prise entre des limites constantes, 
il arrivera souvent qu’elle se trouvera ainsi évaluée dans des cas où il 
serait impossible d’avoir sous forme finie la fonction primitive 
R. — If. Partie élémentaire. 11