162 INTÉGRALES DEFINIES, CALCULÉES PAR LA DIFFÉR. SOUS LE SIGNE /. 
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J~f' c {x, c)dx\ car l’intégrale jT f{x, c)dx, d’où l’on est parti pour 
l’obtenir, peut avoir été calculée par l’un des procédés spéciaux que 
l’on verra ci-après et qui, applicables seulement pour certaines va 
leurs des limites, ne supposent pas que l’on connaisse ni même que 
l’on puisse connaître exactement l’intégrale indéfinie ff{x, c) dx. 
Bornons-nous, en ce moment, à deux exemples simples de la se 
conde catégorie, savoir, ceux auxquels conduisent les deux intégrales, 
immédiatement calculables, 
r x , 1 — e~ cx r x dx 1 x 
(6) / e-™ d x = , / —-5 =-- arctang- , 
d 0 c do c ~^ x V e V e 
où nous supposerons c positif. 
Comme on a, ici, f{x, c) — soit e~ cx , soit (c -1- x-)~ l , il vient, par 
un nombre quelconque n de différentiations successives en c, 
d' l f(x. c) 
de' 1 
soit (— \) n x n e~ cx , soit ( — i)"(i .2.3... n){c -4- x r )~ l,2+1) . 
Donc les relations (6) diiférentiées n fois en c, puis divisées respecti 
vement, la première par (—1)'% la seconde par (—i) w (i .2.3. . .n), 
donneront 
(7) (pour n >0) 
U x , s d' 1 / i — e~ cx \ 
x n e~ cx dx = 1 — i) n 
' dc"\ c ) 
dx 
J 0 (c-T-a7S)«+‘ 
(—t)" 
1.2.3.. .n de' 1 
d' 1 / r x 
—— arc tane — 
s/c \'c. 
Ainsi il ne restera, pour avoir sous forme finie fx ,l e~ x dx et 
f{c + )-(»+!)qu’à effectuer dans les seconds membres, expres 
sions les plus concises possibles de ces intégrales, les faciles quoique 
laborieuses différentiations, par rapport à c, qui s’y trouvent indi 
quées. Ces différentiations se simplifieront d’ailleurs beaucoup si la 
limite supérieure x devient infinie positive; car, alors, e~ cx s’annu 
lant et arctang — devenant - , les deux expressions à différentiel' 
y/c 2 
n fois seront - et -, ou c -1 et - c quantités ayant pour dérivées 
c y/c 2 2 
// ièmes , respectivement, 
/ \ / o . , TT I 3 5 2/1—1 — 
( — 1W1.2.3... ra)c- ( " +1) et (—1)" ••• c - • 
V V 2 2 2 2 2