INTÉGRATION SOUS LE SIGNE /. 
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Il viendra donc 
o 
C'i-hl 
(8) (pour n > o) 
dx 
1 3 5 
2 4 6 
2 Tl 
319*. — Des difficultés que présente la différentiation de certaines 
intégrales définies. 
(Compléments, p. ni*.) 
320. Intégration sous le signe f: application au calcul 
M ais passons aux procédés qui permettent d’obtenir immédiate 
ment certaines intégrales définies dans des cas où l’intégrale indéfinie 
correspondante n’est pas calculable sous forme finie. Les deux plus 
importants se rattachent à la théorie des intégrales doubles. 
Je parlerai d’abord de celui qu’on a appelé intégration sous le 
signe f. Il est basé sur la propriété qu’ont les intégrales multiples à 
limites constantes de conserver leur valeur quand on y intervertit 
l’ordre des intégrations, pourvu du moins qu’une certaine vue directe 
de l’ensemble des éléments, supposée dans la démonstration (p. 147), 
soit possible : circonstance exigeant un champ d’intégration bien dé 
terminé et une fonction sous le signe f finie dans toute l’étendue de 
ce champ. On y considère, ordinairement, une intégrale double où 
les intégrations peuvent se faire complètement quand on les effectue 
dans un certain ordre, tandis qu’une seule de;s deux aboutit lorsqu’on 
change cet ordre. Il vient ainsi deux expressions égales, dont l’une 
est une intégrale définie simple, tandis que l’autre est sa valeur sous 
forme finie. 
Prenons, par exemple, comme point de départ, l’intégrale, évaluée 
plus haut (p. 68) et où a désigne une quantité positive quelconque, 
X 
e~ ax coshx dx = — (pour a >0). 
Le champ en sera bien circonscrit, conformément à l’hypothèse 
énoncée, si nous y supposons mentalement la limite supérieure 00 
remplacée, jusqu’à la fin des calculs, par une très grande quantité 
fixe, suffisante pour que le second membre de (i4) exprime Tinté-