! 64 EXEMPLE D’INTÉGRATION SOUS LE SIGNE /. 
(Compléments, p. 118*.) 
grale avec une erreur insensible, finalement évanouissante dans les 
résultats à obtenir. Cela posé, regardons b comme une variable et, 
après avoir multiplié par db les deux membres de (1/4), intégrons-les, 
par rapport à b, entre les deux limites finies o, b. Nous aurons 
05) 
/V 
e -ax cos hx dx 
=/ 
adh / b \ b ~ b 
—- = ardane - 
a 2 +6 2 \ * a) b=0 
ardane 
On voit que les deux intégrations indiquées dans l'intégrale double 
/ db I e~ ax cos bx dx ont pu se faire complètement en commen 
ce 
çant par celle qui est relative à x. Or une seule s’effectue quand on 
change cet ordre; car, si l’on commence par l’intégration relative à b, 
il vient successivement 
J* dx jf e-«*(cosxb)db= jf dx{e~ ax ) *= ji 
sin hx , 
e~ ax dx, 
relation où le dernier membre n’est plus réductible par les méthodes 
connues. Ainsi l’intégration en b, seule, a pu se faire ; et c’est justement 
parce qu’on l’a effectuée sur e~ ax cosbxdb, c’est-à-dire (à partie fac 
teur db), sur la fonction e~ ax cosbx placée primitivement sous le 
signe / d’intégration par rapport à x, que ce procédé prend le 
Cq 
nom d''intégration sous le signe f. 
On aura donc, en égalant les deux expressions obtenues pour l'in 
tégrale double, 
(iG) 
I 
sm bx , ’b 
e —ax d x — arc tan g — 
x a 
(pour a > o); 
et la différentielle e~ ax dx se trouvera intégrée entre les li- 
x 
mites o et 00, tandis qu’elle ne pourrait l’être, dans un autre inter 
valle, que sous une forme non finie, comme, par exemple, en série, 
au moyen du développement de sin bx — bx— -—7 • • ,•> suivi 
de l’emploi, pour les divers termes, de la première formule (7 ) [p. 162]. 
321*. — Calcul et propriétés de 
l’intégrale 
I. 
sm bx 7 
dx. 
x