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INTÉGRALES DOUBLES QUI SONT DES PRODUITS o’iNTÉGR. SIMPLES. tÔ5 
322. — Intégration par décomposition d’une intégrale double 
en produits d’intégrales simples. 
Le second procédé de calcul de certaines intégrales simples au 
moyen d’intégrales doubles consiste à décomposer une intégrale 
double, dont on puisse connaître d’autre part la valeur, en facteurs 
qui soient des intégrales simples, ou en plusieurs termes formés, 
chacun, de pareils facteurs. On obtient ainsi, entre ces facteurs, des 
relations finies, qui servent à les évaluer. 
Considérons, par exemple, une intégrale double, de la forme 
/-* VL 
/ dx I ®{x)'\ l {y) dy, c’est-à-dire dont les limites soient constantes 
’J a m 
et où la fonction sous les signes f égale le produit de deux facteurs 
ne contenant, chacun, qu’une seule des deux variables x, y. Le fac 
teur v{x) sera invariable pendant l’intégration relative ky, qui don- 
nera comme 
J /-» /t IL 
' <h{y)dy. Par suite, / 'Hy)dy étant 
in m 
désormais et à son tour, dans ce résultat, un certain facteur constant, 
on pourra, en intégrant par rapport à x, le faire sortir du signe / ; 
n. 
et l’on aura finalement 
Í18 i 
o pj—n r r b ~\ T r n 
f / o{x)'li(y) dx dy — f o{x)dx I ô{y)dy 
J x—a J v—in ^ a L ''m 
Si donc on parvient, par une voie quelconque, à calculer l’intégrale 
double, la formule (18) sera une relation de forme finie entre les deux 
intégrales simples / o{x)dx, / ty{y)dy\ et elle pourra servir à 
^ a ^ rn 
les déterminer. 
Mais il faut, pour cela, transformer l’intégrale double au moyen 
d’un changement de variables; car, tant qu’on y laissera paraîtrez 
et y, ou tant que les intégrations devront se faire par rapport k x et 
à y, elles porteront inévitablement, comme le montre (r8), sur les 
différentielles o{x)dx et <p(y)dy; ce qu’il s’agit précisément d’éviter. 
Voyons donc, sur quelques exemples, comment s’effectueront de telles 
transformations. 
323. — Premier exemple ; intégrale de Poisson. 
Le plus simple et le plus usuel de ces exemples est relatif a 1 inté-