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166 INTÉGRALES SIMPLES CALCULÉES AU MOYEN D’INTÉGRALES DOUBLES :
grale, dite de Poisson ( l ), I e~ x 'dx, évidemment positive comme
tous ses éléments, et rendue bien déterminée par le décroissement de
la fonction e~ x % infiniment plus accusé, quand æ grandit beaucoup,
que celui de l’inverse d’une puissance quelconque, même très élevée,
de x" 1 .
Écrivons cette intégrale, en y introduisant une autre variable y
au lieu de x, f e~*'dy\ puis, formons-en le carré, par la multipli-
cation de f e~ xî dx et de f e^'dy, après avoir, pour fixer les
Jq t/y
idées, remplacé provisoirement par un nombre très grand K les li
mites supérieures infinies. Ce carré sera très sensiblement, d’après
(18), l’intégrale double, à champ bien circonscrit.
[ ( e ' r ' [ e ^ d y ) dx -
Pour en faciliter, comme on verra, la transformation, supprimons
tous les éléments compris de x — o à x — une très petite quantité e,
éléments ayant en tout une somme Ç Ç e ~ y ° dy J dx de
l’ordre de e I ed dy, c’est-à-dire insignifiante; et, de plus, rem-
plaçons-y K, au haut du signe f entre parenthèses, par la limite su-
k/ ^ Rf ^ \
périeure plus grande K — , ou écrivons-la j ye - -*' j e~d dyj dx,
nouveaux
ce qui revient à introduire dans le facteur f e~ddy de
do
JC
éléments, d’une somme totale f dy négligeable. L’intégrale
dK
J S* K /-» R
f dx f c e~ {xî+ d)dy, prenons-y, comme
£ ^0
nouvelle variable u de l’intégration en y pendant laquelle x (compris
entres et K) ne change pas, le rapport croissant de zéro à — pen-
(’) A cause d'une démonstration élégante qu’en a donnée ce géomètre ( pp. noi*,
ica* et rai*); mais le calcul en avait été fait antérieurement par Laplace et même
par Euler.